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1、习题2-11由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序解： ，选手按胜多负少排序为：2设矩阵，已知，求解：由于得，解得：。习题2-21设，求（1）；（2）；（3）解：（1）；（2）；（3）2已知，求解：3设，求（1）；（2）；（3）若满足，求；（4）若满足，求解：（1） ；（2）；（3）由得， ；（4）由得，
2、。4计算下列矩阵的乘积：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）。（6）。5设，求解：。6设，（1）求及；（2）如果，是否必有？（3）求解：（1），；（2）由（1）知，而；（3）。7已知，求解：。举反例说明下列命题是错误的：（1）若，则；（2）若，则或；（3）若，且，则解：（1）举例若，而；（2）举例若，而且；（3）举例若，且而。9证明： 如果 ，则有（1）；（2）证明：（1）；（2）10设均为阶矩阵，证明下列命题是等价的：（1）；（2）；（3）；（4）证明：（1）（2）因为，所以；（2）（1），所以；（1）（3）因为，所以（3）（1），所以；（1）（4）因为，所以（4）（1），所以。11设与
3、是两个n阶反对称矩阵，证明：当且仅当时，是反对称矩阵证明：先证当时，是反对称矩阵。因为，所以是反对称矩阵。反之，若是反对称矩阵，即，则。习题2-3 1判别下列方阵是否可逆，若可逆，求它们的逆矩阵：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）解：（1），故存在，从而（2），故存在，从而（3），故存在，从而（4），故存在，从而（5），故不存在。（6），故存在，从而。2设，求矩阵使满足解：由1题中的（4）小题知 ，又知所以。3设，解下列矩阵方程：（1）； （2）； （3）解：，（1）（2）(3) 4利用逆矩阵解下列线性方程组：（1） ； （2）解：（1）取，则原方程组为， ，即。（2）取
4、，则原方程组为， ，即。5设（为正整数），证明证明：因为（由）所以。6设方阵满足，证明和都可逆，并求和证明：因为可知，所以可逆且；又有得，所以可逆且。7设，求解：因为，所以，而，所以。8设，求矩阵解：由于，有而且，可知可逆，所以。9设是阶方阵的伴随矩阵，证明：（1）若可逆，则；（2）若，则；（3）；（4）若可逆，则；（5）若可逆，则证明：（1），而可逆，（2），当，则，当，则由，矛盾。故当时，有。（3）若由（2）知此时命题也成立，故有。若，则由，综上有。（4），而可逆，又，即（5）可逆，可逆又， 即， 10设的伴随矩阵，且，求矩阵解：由 而，。11设，其中，求解：故，所以 而， ， ， 故12
5、设，其中，求解：，又故。13设矩阵、及都可逆，证明：（1）也可逆，并且；（2） 证明：（1）可逆且（2），又有（1）知由逆矩阵的唯一性知，。习题2-41设矩阵 ，用分块矩阵计算：（1）；（2）解：先对进行分块，其中，（1）；（2）。2设，求解：先对进行分块，其中，则，而，所以。3设，求解：先对进行分块，其中=，=， 则，而，4设，求及解：，令 A则是分块对角阵，故 5已知分块方阵，其中均为可逆方阵，证明和均可逆，并求和证明：设有矩阵，使，即则，因均为可逆方阵，所以有，即从而可逆且。设有，使，即，因均为可逆方阵，所以有，即，从而可逆且。6求下列矩阵的逆阵：（1）；（2）解：（1）记原方阵为，则，
6、（2）记原方阵为，则可直接凑得而，=习题2-51对下列矩阵作初等行变换，先化为行阶梯形矩阵，再化为行最简形矩阵：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）； （6）解：（1）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（2）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（3） （行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）(4) （行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵） （5）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）（6）（行阶梯形矩阵）（行最简形矩阵）2把可逆矩阵分解为初等阵的乘积解：因为即3设，求解：可以写成从而4用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（2）（3） （4） 5用初等变换法求矩阵，使，其中，解
7、：6求解矩阵方程，其中。解：，即而 习题2-61在矩阵中，若存在一个阶子式不等于0，那么的秩如何？若的所有阶子式都为0，那么的秩又如何？解：若中存在阶子式不等于0，则的秩若的所有阶子式均为0，则的秩。2在秩为的矩阵中，有没有等于0的阶子式？有没有等于0的阶子式？解：在秩为的矩阵中，可能有等于0的阶子式，也可能有等于0的阶子式。如，而二阶子式，三阶子式，。3从矩阵中划去一行得到矩阵，问与的秩的关系怎样？解：或如第二题中的例子，划去第三行得，则。4求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）； （7）解：（1）由知，且为一个最高阶非零子式。（2）由知，且为一个最高阶非零子式。（3）由知，且为一个最高阶非零子式。（4）由知，且为一个最高阶非零子式。（5）由知，且为一个最高阶非零子式。（6）5求的值，使矩阵有最小的秩解：因，所以，要使的秩最小，须，即而因此，当时，的秩最小。6设阶矩阵满足，证明证明：，又7设是阶方阵（），是的伴随矩阵，证明解：当时，当时，的所有阶子式均为，即，当时，至少有一个阶子式不为，即至少有一个非零元素，又，而，从而
