勾股定理运用

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1、o 1. 勾股定理及其逆定理的概念(1)勾股定理的内容：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和.例如：如图所示，在等腰ABC中，若AB=AC = 13, BC=10，求底边上的高.如图所示，在AABC中，ZACB=，AC = 4, CB = 3,求斜边AB上的高.解：作AH丄BCVAB = AC = 13，AH丄BCEH = HC=5AH=7132 -52 =12.AC = 4, BC = 3AB +42 =5V5HC = 3x4勾股定理逆定理的内容：如果三角形一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角是直角.例如：如图所示，在 ABC中，三条边之

2、比为9： 12： 15,那么此三角形为何 三角形？如图所示，在厶ABC中，若，那么此三角形为何三角形?解： 0a:b:c = 9:12:15.设“监 h = l/ = 15ka勾股定理的证明方法介绍+b2= (9k)2 + (1 吐尸=225k2, c2 = 225ka2 + b2 = c2此三角形是RtA. c2 = 4a2? b2 = 3a2证：a2 + b2 = c2.此三角形是RtA.注：勾股定理与勾股定理逆定理的联系与区别：区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.勾股定理曾引起很多人的兴

3、趣，几千年来，人们已经发现了400 多种勾股定理的证明方法，其中包括大画家达芬奇和美国总统詹姆士 阿加菲尔德以下我们撷取几个优美而巧妙的证法供同学们欣赏.（1）赵爽的拼图法我国古代著名数学家赵爽在勾股圆方图一书中运用四个相同的直角三角形组成一个正方形，从面积的角度证明了勾股定理，其方法简捷、优美.如图，在边长为 的正方形中，有四个斜边为 的全等的直角三角形，已知它们的直角边为利用这个图，即可证明勾股定理理由如下：因为正方形边长为，所以正方形的面积为必+ 坊2 =/+护又因为正方形的面积=2L所以有2）旋转面积法如图，设矩形ABCD为火柴盒侧面，将这个火柴盒推倒至A B C D的位置,D点不动.

4、若设AB=，BC =rJ D 口广，DB=，则梯形的面积=，又因为其面积还等于三个三角形面积的和，即为:所以有：労+b）化简为：/+护诚，即盼+护X（3）美国第20 任总统的拼图面积法加菲尔德的证法的关键是用两个相同的直角三角形，组成直角梯形，使两斜边之间的夹角为 90.如图所示，将两个全等的直角三角形拼成如图所示的直角梯形，设 AC= BE=, BC = DE=, AB = DB=.因为slAbc + Eg翎 + 轧迦=（2 +必 + 必）3. 有关勾股定理题时常用的辅助线和数学思想方法解有关勾股定理的题型时常作垂线构成直角三角形.解有关勾股定理的题型时常用方程思想、分类讨论思想、转化思想和

5、数形结合思想.4. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用，我们要能善于从实际生活背景中抽象出直角三角形，再运用勾股定理及其逆定理解答相关的问题.【典型例题】例 1. 若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积.分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解.解：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x，根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2 = 202化简得x2=16；.直角三角形的面积=x3xx4x = 6x2=96例2.如图，在长方形ABCD中，DC = 5cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把A

6、ED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F,若AABF的面积为30cm2,那么折叠的AAED的面积为.分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：由已知条件可得BF = 12，则在RtAABF中，AB = 5, BF = 12根据勾股定理 可知AF = 13，再由折叠的性质可知AD=AF=13，所以FC = 1,可设DE = EF = x，则EC = 5x,则在RtAEFC中，可得方程：12 + (5x)2 = x2.解这个方程，得x=，.所1 12以 SAAED= x x13 = 16.9(cm2).例3.直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形

7、的面积.分析：两条直角边长不能直接求出，要求直角三角形的面积，只要求出两直角边长的积即可.解：设此直角三角形两直角边分别是x，y,根据题意得：P+ + 5 = 12(1)12+/ = 52由(1 )得： xy= 7，(xy)2= 49， x22xyy2= 49 (3)(3)(2)，得： xy=12直角三角形的面积是 xy=x12 = 6 (cm2)例 4. 等边三角形的边长为 2，求它的面积.分析：要求等边三角形的面积，已知边长，只需求出任意一边上的高.解：如图，等边 ABC,作AD丄BC于D则：BD= BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）VAB = AC = BC = 2 （

8、等边三角形各边都相等）BD = 1在直角三角形 ABD 中 AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2-BD2 = 4-1 =3注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为 a2.例 5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方 4000 米处，过了20 秒，飞机距离小明头顶 5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中 ABC中的ZC = 90 , AC = 4000米，AB = 5000米， 要求出飞机这时飞行多少千米， 就要知道飞机在2 0秒时间里飞行的路程，也就是图中的BC长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样

9、，我们可以根据勾股定理来计算出BC的长.解： 根据题意可得示意图： （如图）在AABC 中的ZC = 90，AC = 4000 米，AB = 5000 米,所以：飞机飞行了 3000 千米.例 6. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40分析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断.例如：对于选择项D,.82弄(40 + 39) x (40-39),.以8, 39, 40为边长不能组成直角三角形.解：因为172 = 82 + 152,

10、所答案为：A.例 7.如图所示的一块地，AD = 12m, CD = 9m,ZADC = 90。，AB = 39m, BC= 36m，求这块地的面积.分析：在求面积时一般要把不规则图形分割为规则图形，若连接BD,则无法求出由于题中含有直角ZADC，故可考虑连结AC,应用勾股定理.解：连结 AC，在 RtAADC 中，AC2 = CD2+AD2 = 92 +122 = 225，所以 AC = 15m.在 RtABC 中，AB2 = 1521, AC2 + BC2 = 152+362 = 1521,所以 AB2=AC2+BC2，所以ZACB = 90.I I所以 SABC-SACD= ACBC A

11、DCDI I=x15x36-x12x9 = 270-54 = 216 (m2).答：这块地的面积是 216m2例 8. 如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的最短路径长为 ( )A. 2B. 2C. 4D. 2分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中.化归思想即转化思想，它是我们初中阶段数学解题方法的灵魂，是指当有些问题如果直接解决则难以入手，于是换一个角度来考虑，从而使问题清晰明朗.运用转化思想来解题常用的策略有：化复杂为简单;化陌生为熟悉

12、;换一种方式来表达等等.解：求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲 面”为“平面”，再寻找解题的途径如右图，可得展开图中的AB长为2n, BS为2,根据 勾股定理，在RtAABS中，得AS = 2 J亍所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2.故选 A.例9.在锐角 ABC中，已知其两边a = 1, b = 3，求第三边的变化范围.分析：显然第三边bacb+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求 ABC为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为c,并设 ABC是直角三角形当第三边是斜边时

13、，c2 = b2+a2,.：c=曲(2)当第三边不是斜边时，则斜边一定是b, b2 = a2+c2,（即ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使ZABC成为锐角(如图)，但当移动到点A位置时ZACB成为直角故点A应当在A和A间移动，此时2注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边,所以有两种情况要考虑.例 10.四边形 ABCD 中，ZB = 90。，AB = 3，BC = 4，CD = 12，AD = 13，求四边形ABCD的面积.分析：先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理得到AADC是直角三角形将四边形ABCD分成两个直角三角形本题是一个典型的勾股定

14、理及其逆定理的应用题.解：连结 ACVZB = 90, AB = 3, BC = 4.AC2 = AB2+BC2 = 25 （勾股定理）AC = 5VAC2+CD2 = 169, AD2 = 169. AC2CD2=AD2.ZACD = 90。（勾股定理逆定理）.S 四边形 ABCD = SAABC+SAACD= ABBC + ACCD = 36例11.若为正实数,且的最小值是多少?试求之.解析：此题是竞赛题，不知从何下手，若仔细观察分析，从2+1和y2 + 4入手,结合勾股定理的形式可为我们提供解题的思路.可以看出,以 x、1 ， y、2 为直角边的直角三角形的斜边长，这时，上述问题就变成了求两条线段之和的最值问题构造如图所示的图形：线段AB = 4, P为AB上任意一点设PA=x, PB=y.CA丄AB 于 A DB丄AB 于 B 且 CA=1, BD = 2 则 PC + PD =要求的最小值就是求 PC+PD 最小 很明显当点P、C、D在同5.所以的最小值是5.一直线上时，PC+PD的最小值再过C作CE丄DB交DB的延长线于点E,构造RtADCE ,