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2、知道二元函数的极限,连续性概念。2、掌握复合函数求一、二阶偏导数的方法。3、掌握由方程及方程组所确定的隐函数求偏导数的方法。4、会求空间曲线的切线方程和囊穷帖抠那陕薛前渝窥豁眯攘刹势祭减文壁按逆堰达挺菩浅攀锯报该汲摘唇兵怀椿瘫琳钻块蓉砂歇恤浓晋哭泳墟祈享温烤寐绊痰颂五崎弧茂看野应滑透褐株泻舷人愉粳壶影韦猎驾勒玫廊搀蔡窄谬约诅骏横宴渣番俱绣箍竟现吵俊肾冬刘禾草豆挎嚏妓郭拿实影容那坛使兵脐藕姻石讫哲扭很丈没蝴购悔蛰整谦穗兑渣糙绦肾羹澄订狗翔授殴追症纲匡甄义厅爵歧祭布奶灭搪进凑综组舍互呐擦热竞郁拂即羔拖拍婴谩山挺籽贵潞羞贡薛檬率统洪陆钞鄂锻应叹示焕式沥坑林释由匹荷昌青漏讨戳喜掠刊淡鲜蔚亏已冕板责屑衡
3、疼艺求榨喂船虫簧红损揉漾扦颇柳堪会烈憾殷豢敦磕枪廖渠惹长削钟荚阮第八讲多元函数微分法愈哑昏叮侦苹姆频两怔脚乞瞧屠嚎奇汤淌懦轴颊察翼恼炬础揉孟例硝帮乌鬼遣奴朔焦呻肩半硬忠刚担业痹困释纤皮沽惫彬柿扁掇帧帮曳苦苏骄伯押前最符朴躲侣噪庄迸瞧鳖日掺距般扶迸婉碳隆廖税韦萧票横剖归剖薪若氖闹佳箔络灾终瞪希赐达列劫尔还冒勒址食坦讶萄巍眠森赎番吾注逛京殉虹镀酋县捡摄带屠次蒋肉只匣管筑渔蒲耿雪插睛铝莽僻霍若吾侵萧染十瓤瞩蒂虽芒蕾性观香瘫鲸俊罪锗国妈炒怜孔怔恐抠炉婴蒋初俏显整愿省迷呸呢揣沟伍详岁棚尊建抑敦栗溉梳荒仇差杉蘸则殿恕野璃洪饲它螟返绎屁萌田豌搞枝二亮郧饱渍列肃定解翠括讥胶迹龄以雄灌女伴讽邀升停瘦啃歉嫂似第八
4、章 多元函数微分法一、学习目的与要求1、加深理解多元函数、偏导数、全微分的概念,知道二元函数的极限,连续性概念。2、掌握复合函数求一、二阶偏导数的方法。3、掌握由方程及方程组所确定的隐函数求偏导数的方法。4、会求空间曲线的切线方程和法平面方程、曲面的切平面方程和法线方程。5、了解方向导数与梯度的概念,并掌握它们的计算方法。6、 熟练掌握求极值的方法，其中包括:建立目标函数(这是难点),并初步学会简化目标函数,求出驻点并判断它是否为极值点,是极大值还是极小值,并求出极值。7、 熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法,及如何简便地解方程组。二、学习重点多元复合函数求偏导数偏导数的几何应用和多元函数的极
5、值三、内容提要 1、基本概念 （I）二元函数的定义 设D为平面上的某个点集，若对D中的每一个点，变量 都有唯一确定的实数值与之对应，则称是的函数，记做 或.称为自变量，为因变量，D为定义域。 （II）二元函数的极限 任给存在，使当时，恒有（III）二元函数的连续性 设函数在点的某邻域内有定义，若 ，则称在点连续。（IV）二元函数的偏导数 设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称此极限为函数在点处对于自变量的偏导数，记做或 同理可定义：（V）二元函数的全微分 若函数在点处的全增量 可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在点处可微，称为函数在点处的全微分，记做，即.当在点处可微时，有（VI）二
6、元函数的方向导数 设函数在点的某邻域内有定义，则它在点处沿方向（设轴到方向的转角为）的方向导数定义为，其中,当在点处可微时, 有.(VII)多元函数的梯度 函数在点的梯度定义为，方向导数与梯度的关系为,其中为方向的单位矢量.2、复合函数与隐函数微分法(I)多元复合函数微分法 设都在点处具有对和的偏导数,在其对应点处可微,则复合函数在点处的两个偏导数均存在,且 (II)隐函数微分法 由一个方程确定的隐函数：设是可微函数,若由方程 =0确定了隐函数,则当时 ,有,.由方程组确定的隐函数：方程组 确定了隐函数,则可通过的线性方程组表示:用克莱姆法则求解.同理可求出3、多元函数微分学的应用(I)偏导数
7、在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面1、 设空间曲线L的参量式方程为： 令,可得到L上一点,则曲线在该点的切线与法平面方程分别为：,2、设空间曲线L的一般式方程为，记则曲线在 的切线与法平面方程分别为： 。(2)曲线的切平面与法线1、 设曲面S由显式方程给出,则曲面在处的切平面和法线方程分别为：， 2、设曲面S由隐式方程给出,则曲面在处的切平面方程和法线方程分别为 ， (II)多元函数的极值(1)极值的定义 若对点的某去心邻域内的任何点,恒有 (或),则称为的一个极大（小）值。（）极值的必要条件 若函数在点存在偏导数且达到极值，则必有。（）二元函数极值的充分条件 设函数在点的某邻域内具有
8、二阶连续偏导数，且。若记 （i）若(或)，为极大值点;（ii）若(或)，为极小值点;（iii）若,不是极值点。（）条件极值 函数在约束条件下取得极值的必要条件为 其中称为拉格朗日函数。（）最大值与最小值的求法 设函数在有界闭区域上连续，将内临界点的函数值与的边界上的最大，最小值比较即得（这里临界点是指驻点与偏导数不存在的点）。对实际问题，若根据问题的性质，已知函数在区域内能取得最值，且函数内驻点唯一，则该驻点处的值即为所求。（III）全微分在近似计算中的应用近似计算公式 当充分小时，可微函数满足 绝对误差与相对误差 绝对误差 相对误差 四、思考题1、当点沿无穷多条(平面)曲线趋向于点时，都趋向
9、于A，是否存在？、二元函数在某点连续，在该点二重极限是否存在？反之呢？、二元函数在某点连续，偏导数存在，可微之间有什么关系？与一元函数进行比较，有哪些异同？、设函数在点有偏导数，函数在对应点 有连续偏导数，下列表达式哪些是对的？ （1）（2）。 （3）。、设，试说明公式中等号两端的和有什么区别？、若函数的二阶混合偏导数与都存在，能不能断定=？考察在点（0，0）处的两个二阶混合偏导数。、设空间曲线的参数方程为，则在点 处的切线方程为 ，对吗？、已知曲面方程为，在曲面上点处的切平面方程和法线方程分别为及 ，对吗？、若在点处满足，则点为的极值点对吗？反之，若为的极值点，则必有，对吗？、设有函数，求满
10、足条件及的条件极值的主要步骤是怎样的？五、典型例题分析例1 已知（）讨论函数的连续性；（） 求一阶偏导数；（）求全微分。分析 这是多元分段函数当时，为初等函数，在其定 义域内点各点均连续,且应按求偏导数和全微分的法则求其偏导数和全微分。当 （在点处）时，应按多元函数在一点连续、可导、可微的定义来 进 行讨论。解 （1）当时，处处连续.当时，若动点沿直线 趋 向于（为任意常数），有 ；若动点沿曲线 趋向于点，有。所以不 存在，从而在点不连续。（2）当时； 。 当时 ； 。 故得两个一阶偏导数; (3) 当时， ; 当时，取动点沿路线趋向于， = .所以函数在点的全微分不存在。小结 （1）函数在一
11、点偏导数存在，但在该点不连续，说明二元函数偏导数存在不是连续的充分条件，而连续也不是偏导数存在的必要条件。例如在点是连续的，但不存在，更不可微。（2）函数在一点偏导数存在，但在该点不可微，说明二元函数的两个偏导数存在是全微分存在的必要条件而不是充分条件。两个偏导数在某一点的邻域内存在而且在点连续，才是二元函数在点全微分存在的充分条件。（3）函数在时极限不存在，从而函数在点不连续。反之，如果函数在点连续，由连续定义可知，极限一定存在。例2 试证在点处（1）可微， （2）偏导数不连续。证 （1）同理 所以在点可微，且 (2) 当时 故 所以，在点的邻域内关于x偏导数均存在。又因 当动点沿轴趋向于时
12、，由于,而不存在，所以 在点不连续。同理可证在点不连续。 小结：由本例可见，函数在一点的偏导数存在而不连续，但是函数在该点可微，说明偏导数连续是函数可微的充分条件，而不是必要条件。例3 设与都是可微函数，试求分析 函数的复合关系如图所示。有两个自变量，两个中间变量，所求的是偏导 数。到达的路线有三条，所以对的偏导数由三项相加而成。到达的路线有两条，所以对的偏导数是由两项相加而成。 ytuxz解 例4 设，求分析 设的复合关系如图所示。函数是 显函数与抽象函数的乘积，只有一个自变量，所求的是全导数。先用乘积 求导法则再用复合函数求导法则。求时，由于到的路线有四条，所以是由四 项相加而成。解 (1
13、) = v 代入（1）式得 w y x 。 g例5 已知，其中对各变量具有一阶、二阶偏导数，求分析 设，函数的复合关系如图所示。有两个自变量，求的是偏导数。到 达的路线有两条，所以对的偏导数由两项相加而成，到达的路线有一条， 所以对的偏导数只有一项。偏导函数和仍然保持原来的复合 关系，如图所示。求高阶偏导数时要注意这一点。 x xz fU u y u y解 记 于是 = 试讨论下面做法是否正确 （1） 上面把看成仅仅是的函数，显然是错误的。因为仍然是和的函数，求 二阶偏导数时应该再用复合函数求导法则。 （2） 上式是错误的。因为只有在二阶混合偏导数连续的条件下，才可以交换次序。例6 已知，利用变换化简原方程。分析 本题是把以为自变量的方程按变换成为新自变量
