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1、word第3节 双曲线与其标准方程三点剖析：一、 教学大纲与考试大纲要求：1掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力；3初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4理解双曲线与椭圆的联系与区别以与特殊情况下的几何图形射线、线段等； 二重点与难点教学重点：标准方程与其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导与待定系数法解二元二次方程组三.本节知识理解. 名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义平面到两定点的距离的和为常数大于的动点的轨迹叫椭圆。即当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面到两定点的距离的差的
2、绝对值为常数小于的动点的轨迹叫双曲线。即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关 系 符合勾股定理的结构，最大，符合勾股定理的结构最大，可以2.要点诠释1双曲线的定义：平面到两定点的距离的差的绝对值为常数小于的动点的轨迹叫双曲线即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面、“距离的差的绝对值、“常数小于在同样的差下，两定点间距离较长，如此所画出的双曲线的开口较开阔两条平行线
3、两定点间距离较短大于定差，如此所画出的双曲线的开口较狭窄两条射线双曲线的形状与两定点间距离、定差有关2双曲线的标准方程的特点：1双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)；焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为3.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上精题精讲【例1】判断如下方程是否表示双曲线，假如是
4、，求出三量的值 分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是解：是双曲线， ； 是双曲线， ；是双曲线， ；是双曲线，【例2】双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,)所求双曲线标准方程为【例3】 双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于焦点在轴上，中心在原点，所以双曲线的标准方程可用设出来，进展求解此题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这
5、种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为 如此有 ，即解关于的二元一次方程组，得所以，所求双曲线的标准方程为 【例4】 点A位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心G的轨迹方程分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进展求解注意限制条件解：设的重心G的坐标为，如此点A的坐标为因为点A位于双曲线上，从而有，即所以，的重心G的轨迹方程为点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种例1是直接利用待定系数法求轨迹方程此题如此是用间接法(也叫代入法)
6、来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力另外此题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解此题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质【例5】的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，使，求点A的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点A的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边BC 为轴，底边BC的中点为原点建立坐标系，这时，由得,即所以，点A的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要
7、的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比拟普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比拟隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的根本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进展训练的【例6】一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)A、B两地相距800m，并且此时声速为340 ms，求曲线的方程分析：解应用题的关键是建立数学模型根据此题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值解：(1)由声速与A、B两处听到爆
8、炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合设爆炸点P的坐标为，如此|PA|PB|=3402=680，即2680，340又|AB|=800，2c=800，c=400，44400 |PA|PB|6800，0所求双曲线的方程为 0例2说明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以
9、求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用想一想，如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上爆炸点应在线段AB的中垂线上点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学的意识，后面对“想一想的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力【例7】求如下动圆圆心M的轨迹方程:(1)与C:(x+2)2+y2=2切，且过点A2，02与C1：x2+(y-1)2=1和C2:x2+(y+1)2=4都外切.3与C1:(x+3)2+y2=9外切，且与C2:(x-3)2
10、+y2=1切.分析C1、C2的半径为r1、r2且r1r2，如此当它们外切时，|O1O2|=r1+r2;当它们切时，|O1O2|=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆M的半径为r(1)C1与M切，点A在C外|MC|=r-,|MA|=r,|MA|-|MC|=点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：a=,c=2,b2=c2-a2=双曲线方程为2x2-=1(x-)(2)M与C1、C2都外切|MC1|=r+1,|MC2|=r+2,|MC2|-|MC1|=1点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支，且有：a=,c=1,b2=c2-a2=所求的双曲线方程为：4y2
11、-=1(y)(3)M与C1外切，且与C2切|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且有：a=2,c=3,b2=c2-a2=5所求双曲线方程为：(x2)评述：1“定义法求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题的常用而重要的方法.2巧妙地应用“定义法可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.3通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.【例8】双曲线的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1|PF2|=32，求F1PF2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这
12、个角所在的三角形.解：点P在双曲线的左支上|PF1|-|PF2|=6|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36|PF1|2+|PF2|2=100|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100F1PF2=90评述：1巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化.2题目的“点P在双曲线的左支上这个条件非常关键，应引起我们的重视，假如将这一条件改为“点P在双曲线上结论如何改变呢？请读者试探索.【例9】F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF2=90，求F1PF2的面积.分析：利用双曲线的定义与F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面积.解：P为双曲线上的一个点
13、且F1、F2为焦点.|PF1|-|PF2|=2a=4|F1F2|=2c=2F1PF2=90在RtPF1F2中|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20|PF1|-|PF2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=1620-2|PF1|PF2|=16|PF1|PF2|=2S|PF1|PF2|=1由此题可归纳出SF1PF2=b2cot评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.根底达标：1方程表示焦点在y轴上的双曲线，如此k的取值围是A.3k9 B.k3C.k9 D.k3答案：C2方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦点在x轴上的双曲线，如此k的取值围是 A.k-1 B.k
14、1C.-1k1 D.k-1或k1答案：C3方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，如此是第几象限的角A.二 B.四 答案：C4椭圆和双曲线有一样的焦点，如此实数的值是 A B C 5 D 9答案：B5设是双曲线的焦点，点P在双曲线上,且,如此点P到轴的距离为( ) A 1 B C 2 D 答案：B的面积为，从而有6P为双曲线上一点，假如F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是A 切 B 外切 C 外切或切 D 无公共点或相交答案：C7“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线的 【解析】 假如ax2+by2=c表示双曲线，即=1表示双曲线，如此0,这就是说“ab0是必要条件，然而假如ab0,c可以等于0，即“ab0不是充分条件.【答案】 A8方程=1表示双曲线，如此k A.(
