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1、3.1证明：如果求积公式(3.4)对函数f(x)和g(x)都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b均为常数)亦准确成立.因此，求积公式(3.4)具有m次代数精度的充分必要条件是： 它对任一小于等于 m 次的多项均能准确成立，但对某个 m+1 次多项式不能准确成立.证明：Gt对于f (x), g(x)机械求积公式都成立Jbg (x)dx a:.fbf (x)dx qX A f (x )a k kk=0.:b af (x)dx q X A af (x )akkk=0b bg (x) dx q X A bg (x )akkk=0同理可得XA g(x )kkk=0: Jb af (
2、x) + bg (x)dx q X A af (x ) +X A bg (x )=akkkkk=0k=0:对于线性组合af (x) + bg(x)机械求积公式也成立 (2)=t机械求积公式具有m次代数精度XA af(x)+bg(x )kk k=0:根据定义可知：对于小于等于m次的多项式f (x) = xj (j = 0,1,m)成立：.对1, x, x 2, x 3,xm的线性组合亦准确成立，对xm+1不准确成立UT对于任意小于等于m次的多项式准确成立:.对1,x,x2,x3,xm的线性组合亦准确成立若对xm+1也能准确成立，则对1, x, x 2, x 3,xm , xm+1的线性组合亦准确
3、成立，即对任意(m + 1)次多 多项式都能准确成立，与题设矛盾：对xm+1不能成立3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson公式则具有3次代数精度。解：根据代数精度定义知： 中矩形公式：b f (x)dx沁(b - a) f (伫乞)a2当f (x) = 1 时Jbf (x)dx = b - a;(b - a) f (a + ) = b - a; 左边=右边a2为(X)= “时？(X)dX少(b -仍岁少2左边=右边当f (x) = x2时心(x)dx = 口3; (b - a) f (凹)=b3 + ab2 - a2b - a3 ;左边壬右边 a32中矩形公式具有1次代数精
4、度62；(b 四吁(a) + 4 f (ab) + f (b) = b - a;左边=右边62(b - )f (a) + 4f (a : b) + f (b) = b 2 - a 2;左边=右边6 2 2Simpson 公式：b f (x)dx 沁 _(a) + 4 f (a + b) + f (b)a6当f (x) = 1 时Jb f (x)dx = b - a;a当f (x) = x 时 Jbf (x)dx = b a2a(b - a)a + bb 3 - a 3(f (a) + 4 f () + f (b) = 623(b 一 a)a + bb 4 一 a 4(f (a) + 4 f (
5、) + f (b) = _624左边 = 右边左边 = 右边=6 f (a) + 4 f (学)+ f (b) 625b5 一 5a5 + a4b + 2a2b3 一 ab4 一 2a3b224当/ (x) = x 2 时 Jbf (x)dx =一 a3当f (x) = x 3时f (x)dx = _a4当f (x) = x 4 时 Jbf (x)dx = b一a5左边丰右边, Simeon公式具有3次代数精度3.3 已知数据表x1.11.31.5ex3.00423.66934.4817试分别用Simpson法与复合梯形法计算积分J 5exdx .1.1解：Simpon法 J15 exdx f
6、 (1.1) + 4f (1.5 +1.1) + f (1.1)1.1 6 2= (3.0042 + 4 x 3.6693 + 4.4817) = 1.47754复合梯形法：由题意知n = 21.5 -1.1卜5 exdx 沁f (1.1) + 2f) + f (1.1)1.1 2 2=0.1 x(3.0042 + 2 x 3.6693 + 4.4817)3.4若f (x) 0,证明用梯形求积公式计算积分(x)dx所得结果比准确值大，并说明几a 何意义.证明：设1为(bf (x)dx的准确值，为梯形求积公式，则I-T =( b 一 a)3 f”(g) gw a, ba 1 1 12 b - a
7、 0, f (x) 0I - 0即I 0被积函数为严格凸函数，梯形插值函数为连接(a, f (a),(b,f (b)的直线,I - T为该直线与被积函数曲线围成的曲面面积13.5分别用复合梯形法和复合Simpson法计算积分J1 exdx，怎样取n才能保证计算结算结0果有 6位有效数字.解得n 170解：设 I为 A exdx 的准确值,I-T 41( b - a)2 (f(b)-f(a)l=l_ (e-1)l 0.0000050 n12n212n 2II-Sn(罟 MWS 曰1 1180 16n 4(e-1)|0.000005T -1(f (0) + f (1) + 2 艺 f (x )-1
8、.178281702 X170kk-1S - 1 (f (0) + f (1) + 4工 f (x46X 4k 2kk-0k-10 x0.10.1 x 0.2;0.2 x 0.3.x 3 + 1,3.6 设 f (兀)=1.001 + 0.3( x 一 0.1) + 0.3( x 一 0.1)2 + 2( x 一 0.1)3,1.009 + 0.15(x - 0.2) + 0.9(x - 0.2)2 + 2(x - 0.2)3,分别用复合梯形法(n=6)和复合Simpson法(n=3)计算积分W f (x)x，并估计误差. 0h5解: T - -f (a) + 云 f (x ) + f (b)
9、62kk-10.3-辽 X f (0) + 2(f (0.05) + f (0.1) + f (0.15) + f (0.2) + f (0.25) + f (0.3)0.3-辽 x 1 + 2(1.000125 +1.001 +1.0035 +1.009 +1.019) +1.035- 0.30250625S - - f (a) + 4工 f (x + 丄)+ 2L f (x + 丄)+ f (b)36k 2k 2k -0k -10.3-pf (0) + 4(f (0.05) + f (0.15) + f (0.25) + 2(f (0.1) + f (0.2) + f (0.3 180.3
10、- 1 + 4(1.000125 +1.0035 +1.019) + 2(1.001 +1.009) +1.035 18- 0.302425h20.32I -T 沁一一f (b) - f (a) -0.39-0 - 0.0000812561212X36I - S q -丄(-)4f 3(b) - f 3(a)-丄(3)412 - 6沁 06 180 2 180 63.7 导出中矩形公式的余项.解：中矩形公式:Jbf (x)dx沁(b - a)f (a + b)a2R = fb f (x)dx - (b - a) f () a2=Jb f (x)dx - Jb f ( + b )dx aa2=A
11、 f (x) - f (字)dx a2=Jb f (字)(x -字)+2 广)(x - )2dx a=f (字)Jb (x -字)dx + 2 广们)(x -字)2 dxa= 广)(b - a )33.8.（略）3.9设（3.6）是Gauss公式，证明它的求积系数恒大于零，求积系数之和等于2. 证明：f1 f (x)dx q1工Akf (叮；k=1x - x其中A = J1 r匚dx是Gauss公式k -1 j =1 x - xj=k k j上式的代数精度为2n -1上式对于f （x） = 1准确成立 即ldxx =工A = 2 k3.101)证明卩 f (x)dx q 9 f (-、5) +
12、 9 f ()+ 9 f ( 5)是 Gauss 求积公式.2）用3点Gauss求积公式计算积分f % -址. 0证明：1)： 当f (x) = 1 时 J1-八丿9*5995可 5 TJ1 f (x)dx = 0；- f (-.-)+ - f (0)+ -f ()= 0；左边=右边-95995J125|3)85ir3)2J3959953当f (x) = x 时当f (x) = x 2 时5 3513f (x)dx = 2；f (-) + f (0) + f () = 2；左边=右边23；左边=右边0/(8 - 9 +/5 - 92) ：-x2 dx=02 -1153 125+22 UQ746
13、814当f (x) = x 3 时 j*1 f (x)dx = 0;-1当f(x) = x4时 j1 f(x)dx = 2; 5f(-)3)+ 8f(0) + 5f( ：3) = 2；左边=右边_159599 飞555853当f (x) = x5 时 J1 f (x)dx = 0; - f (-；-) + - f (0) + - f C.-) = 0；左边=右边-i95995当f(x) = x6时 J f(x)dx = 7； 9f(_、：5)+9f(0)+9f5)= 25；左边丰右边.f (x)dx 沁 5 f(-)+9 f (0)+5 f(、：5)的代数精度为 5538513节点 n = 3
14、 且5 =2 x 3 -1/.J1 f (x)dx 沁-f (-) + - f (0) + - f (:)为 Gauss 公式_1959953.11考虑求积公式J1 f (xg懐A(x0) + Bf,选取求积系数A, B和求积节点X0,使得0 0 0求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出达到的最高代数精度的次数.解：当f (x) = 1 时 J1 f (x)dx = 1 = A + B0当f (x) = x 时 J1 f (x)dx = = Ax + B0 2 0当f (x) = x 2 时 J1 f (x)dx = Ax 2 + B0 2 03 解(2)(3)组成的方程组的A = 34(1)(2)(3)B = 4； C = 3；
