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1、高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-1 1. 求下列不定积分: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9)(g是常数); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . 2. 一曲线通
2、过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程. 解 设该曲线的方程为y=f(x), 则由题意得 , 所以 . 又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有=3-2=1 3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C, C=3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y=ln|x|+1. 3. 一物体由静止开始运动, 经t秒后的速度是3t2(m/s), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m需要多少时间？ 解 设位移函数为s=s(t), 则s=v=3 t2, . 因为当t=0时, s=0, 所以C=0. 因此位移函数为s=t 3. (1)
3、在3秒后物体离开出发点的距离是s=s(3)=33=27. (2)由t 3=360, 得物体走完360m所需的时间s. 4. 证明函数, exshx和exchx都是的原函数. 证明 . 因为, 所以是的原函数. 因为 (exshx)=exshx+exchx=ex(shx+chx) , 所以exshx是的原函数. 因为 (exchx)=exchx+exshx=ex(chx+shx) , 所以exchx是的原函数.习题4-2 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: : (1) dx= d(ax); 解dx= d(ax). (2) dx= d(7x-3); 解dx= d(
4、7x-3). (3) xdx= d(x2); 解xdx= d(x2). (4) xdx= d(5x2); 解xdx= d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx= d(3x4-2); 解x3dx= d(3x4-2). (7)e 2x dx= d(e2x); 解e 2x dx= d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定积分(其中a, b, w, j均为常数): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解
5、. (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36)
6、; 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 习题4-3 求下列不定积分: 1. ; 解 . 2. ; 解 . 3. ; 解 . 4. ; 解 . 5. ; 解 . 6. ; 解 因为 , 所以 . 7. ; 解 因为 , 所以 . 8. ; 解 . 9. ; 解 . 10. 解 . 11. ; 解 . 12. ; 解 . 13. ; 解 . 14. ; 解 . 15. ; 解 . 16. ; 解 . 17. ; 解 . 18. ; 解 . 19. ; 解 . 20. ; 解 因为 , 所以 . 21. ; 解 . 22. . 解 , 而 , ,
7、所以 . 习题4-4 求下列不定积分: 1. ; 解 . 2. ; 解 . 3. ; 解 . 4. ; 解 . 5. ; 解 . 6. ; 解 . 7. ; 解 . 8. ; 解 . 9. ; 解 . 10. ; 解 . 11. ; 解 , 因为 , 而 由递推公式 , 得 , 所以 . 12. ; 解 . 13. ; 解 . 或 . 14. ; 解 . 或 . 15. ; 解 . 或 . 16. ; 解 . 或 . 17. ; 解 . 18. ; 解 . 19. ; 解 . 20. ; 解 . 21. ; 解 令, 则, , . 22. . 解 令, 则, , 代入得 . 总习题四 求下列不定积分(其中a, b为常数): 1. ; 解 . 2. ; 解 . 3. (a0); 解 . 4. ; 解 . 5.
