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1、同济大学高等数学课后答案全集 同济大学高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f(AB)=f(A)f(B);
2、 (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B), 所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使gof=IX, fog=IY, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=f
3、 -1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A . 证
4、明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)y=3x+2; 解 由3x+20得x-2. 函数的定义域为-2, +). 33 (2)y=12; 1-x 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)y=1-1
5、-x2; x 解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0)(0, 1. (4)y=1; 4-x2 解 由4-x20得 |x|0得函数的定义域D=(-1, +). (10)1y=ex. 解 由x0得函数的定义域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=x2; (3)f(x)=3x4-x3,g(x)=x3x-1. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0时,
6、g(x)=-x. (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. p|sinx| |x|0, 1-x20. 因为当x1x2时, y1-y2=x1xx1-x2-2=0, 1-x11-x2(1-x1)(1-x2)所以函数y=x在区间(-, 1)内是单调增加的. 1-x (2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有 y1-y2=(x1+lnx1)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+lnx10, x2所以函数y=x+ln x在区间(0, +)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加,
7、证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以 f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 这就证明了对于x1, x2(-l, 0), 有f(x1) f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 (1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f
8、(x)和g(x)都是偶函数, 则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则 F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g
9、(x)=f(x)g(x)=F(x), 所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则 F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3)y=1-x2; 1+x (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; x-xa+a (6)y=. 2 解 (1)因为f(-x)=(-x)21-(-
10、x)2=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函数. (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数. 21-(-x)21-x2 (3)因为f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. 221+x1+(-x) (4)因为f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数. (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可见f(x)既非奇函数又非偶函数. (-x)-(-x)-xxa+aa+a (6)因为f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数.
11、22 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解 是周期函数, 周期为l=2p. (2)y=cos 4x; 解 是周期函数, 周期为l=p. 2 (3)y=1+sin px; 解 是周期函数, 周期为l=2. (4)y=xcos x; 解 不是周期函数. (5)y=sin2x. 解 是周期函数, 周期为l=p. 14. 求下列函数的反函数: (1)y=3x+1错误！未指定书签。错误！未指定书签。; 解 由y=3x+1得x=y3-1, 所以y=3x+1的反函数为y=x3-1. (2)y=1-x错误！未指定书签。; 1+x1-y 解 由y=1-x得x=, 所以y=1-x的反函数为y=1-x. 1+y1+x1+x1+x (3)y=ax+b(ad-bc0); cx+d-dy+b 解 由y=ax+b得x=, 所以y=ax+b的反函数为y=-dx+b. cy-acx
