《高中数学苏教版选修11学案2.4.1抛物线的标准方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修11学案2.4.1抛物线的标准方程（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、锥曲线与方程2.4抛物线2 . 4.1抛物线的标准方程【学习目标】1掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念2掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3明确抛物线标准方程中 p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.ET问题导学知识点抛物线的标准方程思考i在抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？思考2已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向?梳理抛物线的标准方程有四种类型标准方程y2= 2px(p0)y2= 2px(p0)x2= 2py(p0)x2= 2py(p0)焦点坐标准线方程题型探究类型一求抛物线的标准方程例i分别根据下列条件求抛物线的标准方程：(1) 已知抛物
2、线的焦点坐标是 F(0, 2);(2) 准线方程为y= 2 ；焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5;过点A(2,3).反思与感悟求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2= ax(a丰0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2= ay(a丰0).跟踪训练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3, 4)； 焦点在直线 x+ 3y+ 15= 0上，且焦点在坐标轴上；焦点到准线的距离为，2.类型二求抛物线的焦点坐标及准线方程例2已知抛物线的方程如下，求其
3、焦点坐标和准线方程: (1)y2= 6x;(2)3x2 + 5y = 0;2 2 2(3) y= 4x ;(4)y = a x(a 工 0).引申探究若将本例(4)中条件改为y= ax2(a丰0)，结果又如何？反思与感悟如果已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练2 若抛物线y2 = 2px的焦点坐标为(1,0),贝U p =,准线方程为类型三抛物线定义的应用命题角度1与抛物线有关的轨迹方程1 1例3若位于y轴右侧的动点 M到F(2，0)的距离比它到
4、y轴的距离大2.求点M的轨迹方程.反思与感悟满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简.跟踪训练3平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹 方程.命题角度2利用抛物线定义求最值例4设P是抛物线y2= 4x上的一个动点，F为抛物线的焦点.(1)求点P到点A( 1,1)的距离与点P到直线x=- 1的距离之和的最小值;若点B的坐标为(3,2).求PB + PF的最小值.反思与感悟 解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题.跟踪训练4 已知直线l1： 4x 3y+ 6=
5、 0和直线l2： x =- 1,抛物线y2= 4x上一动点P到直线11和直线12的距离之和的最小值是 当堂训练1.抛物线y=x2的准线方程是 42 .设抛物线y2= 8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 3 .根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为x= 1.焦点在x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是2.4 .若椭圆3+ % = 1(p0)的左焦点在抛物线 y2= 2px的准线上，贝y p为3 p5 .若抛物线y2= 2px (p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10,求抛物线 方程和M点的坐标.-规律与方法1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设
6、为 y2= mx(m 0)，此时焦点坐标为 卩(乎,0), m2准线方程为x =才；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x = my(m 0)，此时焦点坐标为f(o ,：),准线方程为y=m.2 .设M是抛物线上一点，焦点为 F，则线段MF叫做抛物线的焦半径.若M(xo, yo)在抛物线y2= 2px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以 相互转化，所以焦半径 MF = X0+ ；3.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.提醒：完成作业第2章2.4 2
7、.4.1答案精析问题导学知识点 思考1 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向.思考2 一次项变量为x（或y），则焦点在x轴（或y轴）上.若系数为正，则焦点在正半轴上;若系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定.，Px=2y=-P梳理P, 0x= 题型探究 例1解（1）因为抛物线的焦点在 y轴的负半轴上,且一2= 2，则 p = 4.所以，所求抛物线的标准方程为x2= 8y.因为抛物线的准线平行于x轴，且在x轴上面,且 2=3,则p=2 8所以，所求抛物线的标准方程为x2= fy.由焦点到准线的距离为 5知，p = 5.又焦点在x轴负半轴上,所以，所求抛物线
8、的标准方程为y2= 1x.（4）由题意知，抛物线方程可设为y2= mx(mz 0)或x2= ny(n丰).将点 A(2,3)的坐标代入,得 32= m 2 或 22= n 3,m= 9或 n=扌所以，所求抛物线方程为y2 = |x或x2 = fy.跟踪训练1解（1）方法.点(3， 4)在第四象限，设抛物线的标准方程为 y2= 2px (p0)或x2= 2piy (pi0).把点(3, 4)分别代入y2= 2px和x2= 2piy,得(4)2= 2p 3,32=- 2pi 4),16 9 即 2p=才，25 = 4.所求抛物线的标准方程为y2=或x2= 4y.方法二 点(3, 4)在第四象限，设
9、抛物线的方程为 y2= ax (a工0)或x2= by (b工0).把点(3, 4)分别代入，169可得 a=, b= 4.所求抛物线的标准方程为y2=普X或x2= 4y.令 x= 0，得 y= 5;令 y= 0,得 x= 15.抛物线的焦点坐标为(0, 5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x2= 20y或y2 = 60x.由焦点到准线的距离为.2,得p= .2,故所求抛物线的标准方程为y2= 2,2x或y2= 2 2x或x2 = 2 , 2y或x2= 2,2y.例2解(1)由方程y2= 6x知，抛物线开口向左，p 32p= 6, p = 3, 2 = 2，33所以焦点坐标为(一3 0)
10、,准线方程为x=9225将3x + 5y= 0变形为x = y,知抛物线开口向下，2p = 5, p = 5,p = _52 = 12所以焦点坐标为(0, g)，准线方程为y=寻.将y= 4x2变形为X2 = 4y,1 1 p 1知抛物线开口向上，2p=4, p=8，p= 16,所以焦点坐标为(0, 16)，准线方程为y=寻2 2 由方程y= a x(a半0)知，抛物线开口向右,22p= a2, p =号，2所以焦点坐标为(a4, o),2准线方程为x一.引申探究2 2 1 解 y= ax2可变形为x2=-1所以焦点坐标为(0,4a),1准线方程为y=厂.4a跟踪训练22 x= 11 1例3
11、解 由于位于y轴右侧的动点 M到F(?, 0)的距离比它到y轴的距离大？，所以动点 M1 1到F(1，0)的距离与它到直线I: x= 1的距离相等由抛物线的定义知，动点M的轨迹是以F为焦点，I为准线的抛物线，其方程应为y2= 2px(p0)的形式，而p = 1，所以p = 1,2p= 2,故点M的轨迹方程为y2= 2x(xm 0) 跟踪训练3 解 由题意知，动点 P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1.由于点F(1,0)到y轴的距离为1,故当x 0时，原命题等价于点 P 到点F(1,0)与到直线x= 1的距离相等，故点 P的轨迹是以F为焦点，x= 1为准线的抛 物线，方程为y2= 4x.
12、24x, x0,故所求动点P的轨迹方程为y2=0, x2，所以点B在抛物线内部.过点 B 作BQ垂直于准线，垂足为点 Q,交抛物线于点 P1，连结P1F.此时，由抛物线定义知， P1Q=P1F.所以 PB+ PF P1B + P1Q= BQ= 3+ 1 = 4,即PB + PF的最小值为4.跟踪训练42当堂训练1 . y= 12.63. (1)y2= 4x (2)y2 = 4x 4. 65.解 由抛物线定义，设焦点为F p, 0 .则该抛物线的准线方程为x=2由题意设点 M到准线的距离为 MN ,则 MN = MF = 10,即 2 ( 9) = 10,p = 2.故抛物线方程为y2=- 4x.将M( - 9, yo)代入抛物线方程，得 yo= . M点的坐标为(一9,6)或(9, - 6).
