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1、第九章 直线、平面、简单几何体知识结构网络9.1平面的性质与直线的位置关系一、明确复习目标1掌握平面的基本性质，会运用这些性质解决有关共面、共线、共点、交线等问题.2掌握空间两直线的位置关系,理解异面直线的定义，能证明和判断两条直线是异面直线.能用图形表示两条直线的位置关系，会解决与位置关系有关的问题. 3能进行简单的文字、符号、图形三者之间的转化.二建构知识网络(一）平面的概念和性质1.平面的概念:平面是没有厚薄的，可以无限延伸2空间点、线、面的位置关系及表示:要正确运用下列符号:点A,B,，;直线 ,b,，；平面,，,ab,ab,a,a, , /, , =a3.平面的基本性质公理1.线的在
2、平面内.用途:判定直线在平面内，验证是否平面公理2两个平面的交线. 用途:确定两相交平面的交线;判定点在直线上.公理3及其三个推论: 确定平面的条件.注意“确定”即“有且只有一个”的含义.4所有点都在一个平面内的图形称为平面图形，否则称为空间图形.（二）空间两条直线 1空间两直线的位置关系有:()相交； (2)平行;（3）异面.定义2公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行3 等角定理:一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等.推论:两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两条直线所成的角相等.4 空间两条异面直线：不同在任何全个平面内.判定定理:过平面内一点与平面
3、外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.异面直线所成的角的求法：找（或)作出过一条直线上一点,于另一直线平直线；或过空间一点与两条直线平行的直线，转化为平面内的角,再用平面几何的方法去求；也可用向量法.注意：两条直线所成的角的范围： 两条异面直线所成的角的范围:.6两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直且相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线理解：和异面直线都垂直的直线有无数条，公垂线只有一条两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离 计算方法：几何法；向量法三、双基题目练练手1. 三点确定一个平面的条件是_;共点的四条直线最
4、多可以确定_平面;互不相交的三条直线可以确定_平面2. 判断下列命题真假(1）四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形； ( )(2)四点不共面，则其中任意三点不共线； ( )（3）“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内” （ )(）两个平面有三个共公点,那么这两个平面重合； （)(）三个平面可以把空间分成四、六、七、八个部分； ( )(6）过直线外一点向直线引垂线,有且只有一条; （ )(7）异面直线a与c、与c所成的角相等，则a与平行或异面 ( )(8）过空间任一点一定可以作一条直线与两条异面直线都相交 （ ）3(202X福建）对平面和共面的直线、下列命题中真命题是
5、( ） （A)若则 （B)若则(）若则 (D）若、与所成的角相等,则4 直线a、b相交于点O且a、b成60角，过点O与、b都成0角的直线有（ )A.条 B条 .3条 .条.下列各图是正方体或正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则PQ与SR一定是异面直线的是6画出上题图B中平面QR与下底面的交线.答案提示:1.不共线;六个; 0个、一个或三个.2 ;； 3.C; .C .C四、经典例题做一做【例1】用图形表示：ab=,aa,bb，a=A,bmB,caP,Pa,cb. 图略思悟提炼：熟悉图形语言、符号语言之间的互化.提高画图能力.【例2】P是正方体BCD-A1BC1D1上一点,（不是端点)
6、，求证:过P点有且只有一条直线与直线BC、1D1相交.证明:依题设，平面BP与直线C1D1有且只有一个交点，设为Q，过两点Q、P有且只有一条直线,且与BC必相交.PB1C1_D1A1DCBARQ思悟提炼:1.线面相交，有且只有一个交点一个平面内的直线不平行就相交【例3】（1）三条直线a,c互相平行，且都与直线m相交,求证：这四条直线共面;（2)在正方体ABD-1B1C1中，M,Q,R，S是棱的中点,求证:MNPQRS是正六边形.证明:(1)设a,m确定平面再证b,c在内.（2)证R/M/NP,且都与N相交O_SRQPNMDCD1C1B1A1BA思悟提炼:证明点或线共面的方法：【例】如图,已知D
7、AC和DABC不共面,直线、BB、CC两两相交.(1）求证：这三条直线AA、BB、CC交于一点;(2） 若直线B和AB、B和BC、A和CA分别交于P、Q、,求证：P、Q、R三点共线.ABCABCPQRS思悟提炼:用平面的基本性质证明空间三点共线、三线共点的方法.【例】 长方体ABCDA1B1C1D1中，已知Ba,C=，AA1c,且ab,求:（1） 下列异面直线之间的距离：A与CC1;AB与A1C1；AB与B1C.（)异面直线1B与C所成角的余弦值. A A B B C C D D 1111EFO 解（1）:BC为异面直线AB与C1的公垂线段,故B与CC1的距离为bA1为异面直线B与A1C1的公
8、垂线段,故AB与A1C1的距离为c. 过作BB1C,垂足为E，则BE为异面直线B与1的公垂线,B=，即为所求.（2)解法一:连结BD交A于点O,取D1的中点F，连结OF、AF,则OFD1B,AOF就是异面直线D1B与AC所成的角O=，FD1,AF=， 在AOF中,cosAO=解法二:补图形如下，在BG1中，GBD为所求角的补角五.提炼总结以为师同步练习 1平面的性质与直线的位置关系【选择题】下列四个命题：（1)分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2)和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条(3)和两条异面直线都相交的两条直线必异面（)若与是异面直线,与是异面直线，则与也异面其中真命题个数为 (
9、 ）A3 B.2 C.1 .02.在正方体中，、分别是棱和的中点,为上底面的中心，则直线与所成的角为 ( )A.0 B450 60 D.903.AB、CD在平面内，AB/CD，且B与CD相距28厘米,E在平面外，EF/B,且F与相距17厘米,E与平面相距15厘米,则E与CD的距离为 ( ） .5厘米 B.厘米 C.5或3厘米 D.15厘米4已知直线a,如果直线b同时满足条件:a、b异面a、所成的角为定值a、b间的距离为定值，则这样的直线b有 A.1条 B.2条 C.条 D.无数条 （ )【填空题】.互不重合的三个平面的交线可能有_条.6已知ac,b与c不平行、 a与b不相交，a,的位置关系是
10、7在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为_. 8.两条异面直线、间的距离是cm，它们所成的角为0，、上各有一点、B,距公垂线的垂足都是10cm,则、B两点间的距离为_.答案提示:1-4 C 0、1、2、3四种.6.异面直线 .; 8. . 【解答题】ABCDEF.已知正四面体CD中,BC的中点为E,D的中点为F，连E、CF.（）判断AE、CF的位置关系；(2）求AE与CF所成的角的余弦答案: 10.（02上海春)在长方体中,已知,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).解:连接，则为异面直线与所成的角.在中， 异面直线所成的角为 1.如下图，四面体ACD中，、G分别为BC、AB的中点，F在C上,H在AD上,且有DFFC23，DH. 求证:EF、H、B交于一点. 证明：连结、,E、G分别为B、AB的中点,GEAC.又DFC=23，DHA=23,FCGEH.故G、E、F、H四点共面.又与不能平行，F与GH相交，设交点为O则O面A，O面BD，而平面ABD平面BD=BD.EF、H、D交于一点.【探索题】设AC和A1B1C的三对对应顶点的连线AA1、BB1、相交于一点O，且= .试求的值. 【探索题】解：依题意,因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=，所以B1B1，C1C，C1C1由平移角定理得BAC=1A1C1,ABCA1B1，ABA1B1C1，所以（)2=.
