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1、光学例题补充一、 光的直线传播、光的反射、光的折射、光的色散例题1：（23分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出车厢以高速v沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R（R r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直板的圆心O2 、S、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上
2、的情况不考虑光的衍射试求：1车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻 2地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻解析：1 相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示。 根据几何关系，得rRlLS 解得： (1)设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源
3、的距离为：(2)故出现挡板完全遮住光束的时刻为：(3) 由（1）、（3）式，得(4)2相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动光源与孔之间的距离缩短为： (5)而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为： (6)初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为： (7)例题2：（20分）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为，式中为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转
4、水银液面作反射式天文望远镜）。观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。解析：旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为：（1）由（1）式，旋转抛物面方程可表示为：（2）停转后液面水平静止，由液体不可压缩性，知液面上升，以下求抛物液面最低点上升的高度抛物液面最低点以上的水银，在半径、高的圆柱形中占据体积为的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为的部分无水银体在高度处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得处圆环面积：（3
5、）将体倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为：（4）其高度处的水平截面为圆面，面积为：（5）由此可知：（6）即停转后抛物液面最低点上升：（7）因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同 设眼长为，凹面镜成像时，物距即所求距离，像距v与像长分别为：（8）（9）平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为：（10）像距与像长分别为：（11）（12）两像视角相同要求：（13）即：（14）
6、此处利用了(8)(12)诸式由（14）式可解得所求距离：（15）评分标准：本题20分.(1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分二、透镜成像规律的应用1.透镜成像作图（1）三条特殊光线通过光心的光线，方向不变；平行主轴的光线，折射后过焦点；通过焦点的光线，折射后平行主轴。（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴平行于SA，与焦平面 交于P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射光线。（3）*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，
7、若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。2.薄透镜成像公式薄透镜成像公式是： 式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令，则有： 该式称为“牛顿公式”，式中x是物到“物方焦点”的距离，是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清，的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。例题3：一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心和的两点时，求像所在的位置及速度。
8、解析：，代入牛顿公式，得 ，图1-5-2上述，的意义，如图1-5-2所示。设在t时间内，点光源的位移为x，像点的位移为，得 当t0时x0，略去x的二阶小量，得 将，的值代入，求得，。像移动方向与物移动方向相反。*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。例题4：如图1-4-10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处
9、， 图1-4-10可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。解析: 从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。球面反射的成像公式为：，其中反射面的焦距为（R为球面半径），对凹面镜，f取正值，对凸面镜，f取负值。球面折射的成像公式为：当入射光从顶点射向球心时，R取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。图1-4-11甲如图1-4-11甲所示，当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成
10、像于，设物距为u，像距为，根据球面折射成像公式： 这里空气的折射率，透镜介质的折射率，入射光从顶点射向球心，R=r取正值，得 （1）这是第一次成像。图1-4-11乙对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前表面折射所成的像点是它的物点，其物距（是虚物），经透镜后表面反射后成像于，像距为（如图1-4-11乙所示），由球面反射成像公式，得 将前面数据代入，得 （2）这是第二次成像。由透镜后表面反射成的像点又作为透镜前表面折射成像的物点，其物距（是虚物），再经过透镜前表面折射成像于，像距为，（见图1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式，得图1-4-11丙 这时入射光一侧折射率，折射光一侧折射率1（是空
11、气），入射光由球心射向顶点，故R值取负值。所以上式可表示为： 代入前面得到的关系，得 （3）这是第三次成像。由（1）、（2）两式可解得： （4）再把（4）式和（3）式相加，得 （5）为使物点Q与像点在同一竖直平面内，这就要求： 代入（5）是可解得物距为： 说明：由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已知的球面半径r求出透镜的折射率n。 例题5：（23分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为、和的透镜,，；观察屏P，它是一块带有刻度的玻璃
12、片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的 分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm，称为D线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率1.5170；另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率=1.7200。 1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。2.
13、试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角的数值。解析：1 圆筒内光学元件的相对位置如图1所示各元件的作用如下：L2L1L3狭缝SP圆筒轴图1狭缝S：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像透镜L1：与狭缝的距离为f1，使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆筒轴平行的平行光束分光棱镜：使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束透镜L2：使各种单色平行光束经L2 成像在它的焦平面上，形成狭缝的像（即光谱线）观察屏P：位于L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上透镜L3：与P的距离f3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）2已知钠黄光的谱线位于P的中央，S的
14、像位于L2 的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2所示，左半部的光路如图3用i1、r1、i2、r2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n1、n2分别表示两块棱镜对D线的折射率，由图3可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，表明，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有=1.5170，=1.7200图2r1i2r2i1n2n1图3由几何关系可得 （1） （2）由折射定律可得 （3） （4）从以上各式中消去、和得 （5） 解（5）式得 （6）以，代入，得 （7）uv图1-5-43.组合透镜成像如果由焦距分别为和的A、B两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴），将一个点光源S放在主轴上距透镜为u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像（图1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。因为A、B都是薄透镜，所以互相靠
