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1、第03讲 全等三角形的概念与判定全等三角形一全等的概念1全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形2全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的四边形，记作：四边形四边形这里符号“”表示全等，读作“全等于”3全等三角形的概念与表示能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”二全等三角形的性质对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，
2、常用到以下方法：1全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；2全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；3有公共边的，公共边常是对应边；4有公共角的，公共角常是对应角；5有对顶角的，对顶角常是对应角；6两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键一考点：全等的概念，全等三角形的性质二重难点：全等三角形的性质三易错点：利用全等的性质时容易忽略对应关系，导致找错对应边或对应角题模一：全等图形例1.1.1 下列图形中，与右图全等的是（ ）A B
3、C DA A选项B B选项C C选项D D选项【答案】A【解析】 观察图形上实心点与空心点的位置得出全等图形即可，原图与选项A全等例1.1.2 图中所示的是两个全等的五边形，指出它们的对应顶点和对应边与对应角，并说出图中标的，各字母所表示的值【答案】 对应顶点：和，和，和，和，和；对应边：和，和，和，和，和；对应角：和，和，和，和，和；，【解析】 由全等图形的定义和性质可得结论例1.1.3 能够_的两个图形叫做全等形【答案】 完全重合【解析】 能够完全重合的两个图形叫作全等图形题模二：全等三角形的性质例1.2.1 下列命题中正确的是（ ）A 全等三角形的高相等B 全等三角形的中线相等C 全等三
4、角形的角平分线相等D 全等三角形对应角的平分线相等【答案】D【解析】 全等三角形的对应边相等，对应角相等同时，全等三角形对应边上的高、对应边上的中线，对应角的角平分线也分别相等，一定要注意“对应”二字例1.2.2 已知下图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）A B C D 【答案】D【解析】 该题考查的是全等三角形的性质已知两个三角形全等，故对应角度数相同边与边c的夹角为，故的度数为，故选D例1.2.3 如果，的周长为13，则的长（ ）A 13B 3C 4D 6【答案】D【解析】 由于，所以AB与DE、AC与DF、BC与EF分别是对应边，即，又的周长为，则，所以随练1.1 下列图形是全等图形的
5、是（ ）A B C DA A选项B B选项C C选项D D选项【答案】B【解析】 由全等的概念可知答案为B随练1.2 用两个全等的直角三角形（非等腰直角三角形）拼成凸四边形，拼法共有（ ）A 3种B 4种C 5种D 6种【答案】B【解析】 拿两个“，”的三角板试一试即可得随练1.3 如图，若的周长为，的长为，则的长为（ ）A B C D 【答案】B【解析】 解：，的周长，又，故选B随练1.4 下列命题中，真命题的个数是（ ）全等三角形的周长相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的面积相等；面积相等的两个三角形全等A 4B 3C 2D 1【答案】B【解析】 正确面积相等的两个三角形不一定全等，
6、错误随练1.5 已知，的周长为，则_，=_，_【答案】 ；【解析】 由于，所以AB与DE、AC与DF、BC与EF分别是对应边，即，又的周长为，则因此，随练1.6 如图，求的度数与的长【答案】 ，【解析】 在中，又，全等三角形的判定一全等三角形的判定方法：边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等二全等三角形的应用：1运用三角
7、形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础一考点：全等三角形的判定二重难点：全等三角形的判定三易错点：1边边角（SSA）在一般情况下是不能证明两个三角形全等的；2斜边、直角边定理(HL)必须是在直角三角形中才能使用；3在使用判定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和判定定理要求的一样题模一：SSS例2.1.1 如图，求证：【答案】 见解析【解析】 由SSS可得题模二：SAS例2.2.1 已知：如图，E为BC上一点，ACB
8、D，求证：【答案】 见解析【解析】 证明：ACBD，在ACB和EBD中：，CBMDBM（SAS），例2.2.2 如图，已知ABC中，厘米，厘米，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动当点Q的运动速度为_厘米/秒时，能够在某一时刻使BPD与CQP全等【答案】 4，6【解析】 该题考查的是动点与全等三角形综合设经过x秒后，使BPD与CQP全等，要使BPD与CQP全等，只能或BP=CP，点D为AB的中点，故，或时，；时，；即点Q的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒题模三：ASA例2.3.1 已知：如图，C是线段AB的中点，求证：【
9、答案】 见解析【解析】 该题考查三角形的全等C是线段AB的中点，在ADC和BEC中，ADCBEC（ASA）题模四：AAS例2.4.1 如图，于点D，于点E，AD与BE相交于点F，且求证：【答案】 见解析【解析】 该题考查的是三角形的综合证明：于D，于E，在Rt和Rt中，, 1分在和中， 3分 4分 5分例2.4.2 在平面直角坐标系中，点，点，点在直线上运动；（1）若点在第四象限，作于点，于点，求证：；（2）若点在第一象限，仍作于点，于点，试探究线段、所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明 【答案】 （1）见解析（2）【解析】 （1）易证，所以，所以；（2）如图，证明，同（1）可得题模五
10、：HL例2.5.1 如图，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，AC=BD求证：ABCBAD【答案】 见解析【解析】 证明：ACBC，BDAD，C=D=90，在RtACB和RtBDA中，ACBBDA（HL）随练2.1 已知：如图，在四边形中，求证：【答案】 见解析【解析】 连接，由SSS定理证明，从而得到随练2.2 如图，C为线段AB上一点，ADEB，AC=BE，AD=BC求证：ACDBEC【答案】 见解析【解析】 证明：ADBE，A=B在ACD和BEC中，ACDBEC（SAS）随练2.3 如图，已知，求证：（1）；（2）【答案】 见解析【解析】 （1），即在EAC和BAF中，EACBAF
11、，（2）由（1）知，EACBAF，在AFC中，随练2.4 已知：如图，AC=EC，E、A、D在同一条直线上，1=2=3试说明：ABCEDC【答案】 见解析【解析】 证明：1=2，1+ACD=2+ACD，ACB=ECD，1=3，4=5，B=D，在ABC和CDE中，ABCEDC（AAS）随练2.5 如图，在ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足AE=CF，求证：ACB=90【答案】 见解析【解析】 证明：如图，在RtACE和RtCBF中，RtACERtCBF（HL），EAC=BCF，EAC+ACE=90，ACE+BCF=90，ACB=18090=
12、90随练2.6 如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，BECE于点EADCE于点D求证：BECCDA【答案】 见解析【解析】 本题考查了全等三角形的判定定理，本题根据AAS证明两三角形全等，难度适中根据垂直的定义以及等量代换可知CBE=ACD，根据已知条件BEC=CDA，CBE=ACD，BC=AC，根据全等三角形的判定AAS即可证明BECCDA证明：BECE于E，ADCE于D，BEC=CDA=90，在RtBEC中，BCE+CBE=90，在RtBCA中，BCE+ACD=90，CBE=ACD，在BEC和CDA中，BEC=CDA，CBE=ACD，BC=AC，BECCDA 拓展1 在下列各组图形中，是全等的图形是（ ）A B
