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1、北京数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案知识网络：目标认知考试大纲要求：1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用；2.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题.4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.重点：1.掌握常见的求数列通项的一般方法；3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题难点：用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题.知识要点梳理知识点一：通项与前n项和的关系任意数列的前n项和；注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行：（1）求，（2）求出当
2、n2时的，（3）如果令n2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法：，则，2.迭乘累乘法：，则，知识点三：数列应用问题1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2.建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数
3、变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.规律方法指导1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：（1）通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；（2）通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项
4、公式1在数列中，求.解析：，当时， ，将上面个式子相加得到：（），当时，符合上式故.总结升华：1. 在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式，而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得.举一反三：【变式1】已知数列，求.【答案】【变式2】数列中，求通项公式.【答案】.类型二：迭乘法求数列通项公式2设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.解析：由题意， ，又，当时，当时，符合上式.总结升华：1. 在数列中，若为常数且，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列.2若数列有形如的解析关系
5、，而的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得.举一反三：【变式1】在数列中，求.【答案】【变式2】已知数列中，求通项公式.【答案】由得， ， ， 当时， 当时，符合上式类型三：倒数法求通项公式3数列中，,，求.思路点拨：对两边同除以得即可.解析：，两边同除以得，成等差数列，公差为d=5，首项，.总结升华：1两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项.2若数列有形如的关系，则可在等式两边同乘以，先求出，再求得.举一反三：【变式1】数列中，求.【答案】【变式2】数列中，,，求
6、.【答案】.类型四：待定系数法求通项公式4已知数列中，求.法一：设，解得即原式化为设，则数列为等比数列，且法二： 由得：设，则数列为等比数列法三：，总结升华：1一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,则可设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2若数列有形如（k、b为常数）的线性递推关系，则可用待定系数法求得.举一反三：【变式1】已知数列中，求【答案】令，则，即，为等比数列，且首项为，公比，故.【变式2】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.【答案】，设，则，即，数列是以为首项，3为公比的等比数列，
7、. .类型五：和的递推关系的应用5已知数列中，是它的前n项和，并且, .(1)设,求证：数列是等比数列；(2)设，求证：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式及前n项和.解析：（1）因为，所以 以上两式等号两边分别相减，得 即，变形得 因为 ，所以 由此可知，数列是公比为2的等比数列. 由, 所以, 所以, 所以.（2） ，所以 将 代入得 由此可知，数列是公差为的等差数列，它的首项， 故.（3），所以 当n2时， 由于也适合此公式， 故所求的前n项和公式是.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求
8、得问题的解决利用等差（比）数列的概念，将已知关系式进行变形，变形成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列首项为1，前n项和满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，作数列，使，求的通项公式.【答案】（1）， ， 又 ， 是一个首项为1公比为的等比数列； （2） 是一个首项为1公比为的等差比数列 【变式2】若, ()，求.【答案】当n2时，将代入, , 整理得 两边同除以得 （常数） 是以为首项，公差d=2的等差数列， ， .【变式3】等差数列中，前n项和，若.求数列的前n项和.【答案】为等差数列，公差设为, , , , 若，则, . ，
9、, , , -得 类型六：数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为10m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路点拨： 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和.解析：设将旗集中到第x面小旗处，则 从第一面旗到第面旗处，共走路程为了， 回到第二面处再到第面处是， 回到第三面处再到第面处是， ， 从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为， 从第面处到第面处取旗再回到第面处，路程为202， 总的路程为
10、： ，时,有最小值 答：将旗集中到第7面小旗处，所走路程最短.总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前项和公式，在求和后，利用二次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（ ）A B C D【答案】D；解析：从2月份到12月份共有11个月份比基数（1月份）有产值增长，设为， 则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为，到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税（税率为）共计元，则该人存款的本金为（）A1.5万元 B2万元 C3万元 D2.5万元【答案】B；解析：本金利息利率
11、，利息利息税税率利息（元），本金（元）【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是()A5月、6月 B6月、7月 C7月、8月 D9月、10月【答案】C； 解析：第个月份的需求量超过万件，则解不等式，得，即.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用. 当且仅当，即（年）时等到号成立. 因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2
