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1、南京市2010届高三数学考前最后一卷1定义：在数列an中，若an2an12p，（n2，nN*，p为常数），则称an为“等方差数列”下列是对“等方差数列”的有关判断：若an是“等方差数列”，则数列an2是等差数列；(1)n是“等方差数列”；若an是“等方差数列”，则数列akn（kN*，k为常数）也是“等方差数列”；若an既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列其中判断正确的序号是 2已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中(0，)（1）求sin和cos的值；（2）若sin(j)，0j，求j的值3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，cosA，b（1）求s
2、inC的值；（2）求ABC的面积4在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知c2，C（1）若ABC的面积等于，求a，b的值；（2）若sinCsin(BA)2sin2A，求角A的大小5在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列（1）若，b，求ac的值；（2）求2sinAsinC的取值范围6如图1所示，在边长为12的正方形AAA1A1中，点B，C在线段AA上，且AB3，BC4，作BB1/AA1，分别交A1A1、AA1于点B1、P，作CC1/AA1，分别交A1A1、AA1于点C1、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得AA1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱
3、ABCA1B1C1（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，求证：AB平面BCC1B1；（2）求平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比图1ABCAA1B1C1A1PQ图2ABCA1B1C1PQ7如图，在四棱锥PABCD中，CDAB，ADAB，ADDCAB，BCPC（1）求证：PABC；（2）试在线段PB上找一点M，使CM平面PAD，并说明理由PABCDTABCDA1B1C1D1R1S1T1SRPQ8如图所示，两个全等的正方体ABCDA1B1C1D1，CRSTC1R1S1T1有一条公共的棱CC1，且平面BCC1B1与平面CTT1C1在同一平面内，平面CDD1C1与平面CR
4、R1C1在同一平面内，P、Q分别是棱B1C1、CC1的中点（1）求证：PQ平面CRS1T1；（2）求证：B1D平面BTS1R19如图，底面为菱形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，G为DF的中点CABA1B1C1D1EGFDH（1）求证：EF平面B1BDD1；（2）过A1、E、G三点平面交DD1于H，求证：EGA1H10在平面直角坐标系xOy中，点P是坐标为（0，1），直线l1的方程为y1（1）若动圆C过点P且与直线l1相切，求动圆圆心C的轨迹方程；（2）设A（0，a）（a2）为y轴上的动点，B是（1）中所求轨迹上距离A点最近的点，求证：以AB为直径的圆
5、在y轴上截得的弦长为定值，并求此定值11已知椭圆1(ab0)的上顶点为A（0，3），左、右焦点分别为B、C，离心率为（1）试求椭圆的标准方程；（2）若直线PC的倾斜角为，直线PB的倾斜角为，当时，求证：点P一定在经过A，B，C三点的圆M上；PAPBPC12已知曲线E：ax2by21（a0，b0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交于点A、B，且2 （1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；（2）若ab1，求直线AB的方程13要设计一容积为V的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造
6、价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R为何值时造价最低？14某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如ABC的支架，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？BCA15直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m（1）过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为q (0q)，试用q 表示线段AB的长度l(q )；2mABPC2mq（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？并请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）
7、16已知各项均为实数的数列an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，且满足S42S28（1）求公差d的值；（2）若数列an的首项的平方与其余各项之和不超过10，则这样的数列至多有多少项；（3）请直接写出满足（2）的项数最多时的一个数列（不需要给出演算步骤）17（1）已知函数f(x)数列an满足：an0，a11，且f()，记数列bn的前n项和为Sn，且Sn(1)n求数列bn的通项公式；并判断b4b6是否仍为数列bn中的项？若是，请证明；否则，说明理由（2）设数列cn是首项为c1，公差d0的等差数列求证：“数列cn中任意不同两项之和仍为数列cn中的项”的充要条件是“存在整数m1，使c1md”1
8、8已知数列an中，a11，anan12n(nN*)，bn3an（1）试证数列an2n是等比数列，并求数列bn的通项公式（2）在数列bn中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由（3）试证在数列bn中，一定存在满足条件1rs的正整数r，s，使得b1，br，bs成等差数列；并求出正整数r，s之间的关系在数列bn中，是否存在满足条件1rst的正整数r，s，t，使得b1，br，bs，bt成等差数列？若存在，确定正整数r，s，t之间的关系；若不存在，说明理由19已知函数f（x）（1）判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性，并加以证明；（2）如果关于x的方程f（x）
9、kx2有四个不同的实数解，求实数k的取值范围20对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间a，bD和常数c，使得对任意x1a，b，都有f(x1)c，且对任意x2D，当x2a，b时，f(x2)c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数（1）判断函数f1(x)|x1|x2|和f2(x)x|x2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（2）若函数g(x)mx是区间2，)上的“平底型”函数，求m和n的值21设定义在R上的奇函数f(x)ax3bx2cxd，a，b，c，dR当x1时，f(x)取得极大值（1）求函数yf(x)的表达式；（2）判断函数yf(x)的图象上是否存在两点，使得以这两点
10、为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间，上，并说明理由；（3）设xn12n，ym(3m1)（m，nN*），求证：|f(xn)f(ym)|南京市2010届高三数学考前最后一卷参考答案1、2(1)因为a与b互相垂直，所以ab0所以sin2cos0，即sin2cos因为sin2cos21，所以（2cos）2cos21解得cos2则sin2因为(0，)，所以sin0，cos0，所以sin，cos(2)因为0j，0，所以j，所以cos(j)，所以cosjcos(j)coscos(j)sinsin(j)所以j3(1)因为A、B、C为ABC的内角，B，cosA，所以CA，sinA所以sinCsin(A)
11、cosAsinA(2)由(1)，知sinA，sinC因为B，b，所以在ABC中，a所以ABC的面积SabsinC4（1）由余弦定理及条件，得a2b2ab4，absinC，即ab4联立方程组解得a2，b2（2）由题意，得sin(2A)2sin2A即sin(2A)因为A(0，)，所以2A(，)所以2A或2A则A，或A5（1）因为A，B，C成等差数列，所以B因为，所以accos(B)，所以ac，即ac3因为b，b2a2c22accosB，所以a2c2ac3，即(ac)23ac3所以(ac)212，所以ac2（2）2sinAsinC2sin(C)sinC2(cosCsinC)sinCcosC因为0C，
12、所以cosC（，）所以2sinAsinC的取值范围是（，）6(1)证明：在正方形AAA1A1中，因为ACAAABBC5，所以三棱柱ABCA1B1C1的底面三角形ABC的边AC5因为AB3，BC4，所以AB2BC2AC2所以ABBC因为四边形AAA1A1为正方形，BB1/AA1，所以ABBB1而BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AB平面BCC1B1(2)解：因为AB平面BCC1B1，所以AB为四棱锥ABCQP的高因为四边形BCQP为直角梯形，且BPAB3，CQABBC7，所以梯形BCQP的面积为SBCQP(BPCQ)BC20所以四棱锥ABCQP的体积VABCQPSB
13、CQPAB20由(1)，知BB1AB，BB1BC，且ABBCB，AB平面ABC，BC平面ABC所以BB1平面ABC所以三棱柱ABCA1B1C1为直棱柱所以三棱柱ABCA1B1C1的体积为VABCABCSABCBB172故平面APQ将三棱柱ABCA1B1C1分成上、下两部分的体积之比为7（1）证法一：连结AC，在四边形ABCD中，ADAB，CDAB，所以ADCD设ADa因为ADDCAB，所以CDa，AB2a在ADC中，ADC90，ADDC，所以DCADAC45，ACa在ACB中，AB2a，ACa，CAB45，所以BCa所以AC2BC2AB2所以ACBC又因为BCPC，AC平面PAC，PC平面PAC，ACPCC，所以B
