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1、第四章 向量的内积与二次型4. 向量的内积.1.1向量的内积与模定义4.1设有n维向量，,称+为与的内积,记为,即,+.内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表达,当与都是列向量时，有,=T.向量的内积满足下列运算规律（其中，都为n维向量，为实数）：(),；(2）,;(）+,，+,.定义42 数称为向量（）T的模(或长度），记为，即=.当=1时，称为单位向量.当向量时, 是单位向量.=注意：式 给出了求向量的单位向量的措施.有关内积和模的关系,有如下重要的定理:定理4.对任意n维向量和,恒有，|.向量的模具有下述性质:（1） 非负性：当时，0；当=0，=.（2） 齐次性：=.（3） 三角不等式：+
2、4.1 两个向量的夹角和距离定义.3当时,arcs称为n维向量与的夹角,其中0.这时有.定义44规定维向量=()T与=（）T的距离为=根据定义4.4,n维向量的模就是与零向量的距离。根据维向量的三角不等式,恒有+,于是4.2 正交向量组与正交矩阵4.2. 正交向量组定义4. 如果n维向量与的内积0,则称与正交若一种向量组中每一种向量均不为零，且任意两个向量都正交,则该向量组称为正交向量组定理4.2 若n维向量组1,2,r是正交向量组，则1,2,，r线性无关.在一种正交向量组中,如果每个向量都是单位向量，则称这个向量组为原则正交向量组定理.3设n维向量组1,2，线性无关，令:，,，则，是正交向量
3、组，且与1，,m等价.如果令 (=1,2，,m)，则1,，,m是与1，2，,等价的原则正交向量组上述定理4.3从线性无关组1,2，导出正交向量组,的过程称为施密特正交化过程，此措施称为施密特正交化措施它不仅满足,，,与,2，,等价，还满足：对任何k（1），向量组,，,与1,2，k等价.一般将，,转化为到的过程称为向量的单位化.42.2 正交矩阵与正交变换定义4.6 如果阶方阵满足ATA=I,则称A为正交矩阵.由定义4.6可得：正交矩阵可逆,且A-1=AT.定理44 方阵A是正交矩阵的充足必要条件是A的列（行）向量是原则正交向量组定义4 设,，则等价于上述称为线性变换；若为可逆矩阵，则为可逆线性
4、变换；若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换。定理4.5 正交变换不变化向量的内积，从而不变化向量的模、夹角和距离。4.3 实对称矩阵定义4.8若n阶方阵=(）满足:，则A称为对称矩阵；若为实数,则称为实对称矩阵定理6 实对称矩阵的特性值为实数.定理4.7 设，是实对称矩阵A的两个特性值,是相应的特性向量,若，则与正交.定理. 若是实对称矩阵A的k重特性值，则存在k个相应于的线性无关特性向量.定理.9 设为n阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,使其中,，是的特性值.S:（1） 在实对称矩阵中，不同特性值根相应的特性向量正交,故只需对重根所相应的特性向量进行施密特正交化（2） 任意实对称矩阵都可以用正交
5、变换措施化为对角矩阵4. 二次型4.4.二次型及其矩阵表达平面二次函数中，其左端函数满足,这样函数称为二次齐次函数.定义4.9 具有n个自变量的二次齐次函数称为二次型.当为复数时，称为复二次型；当为实数时,称为实二次型.规定，则有2=,于是+=记A=（)，则上面的二次型可以记作:由于，因此是实对称矩阵.容易看出，的对角元素是中项的系数,而非对角元素是交叉项系数的一半.实二次型与实对称矩阵一一相应(即互相唯一拟定).这里,对称矩阵称为二次型的矩阵,也把称为对称矩阵的二次型;矩阵的秩定义为二次型的秩.Tps:设为阶方阵,则二次型的矩阵.44.2 二次型的原则型定义4.1 二次型通过线性变换后所得到
6、的平方和称为这个二次型的一种原则型.其相应的矩阵是对角矩阵：对于一般的二次型，重要问题是:谋求可逆的线性变换或正交变换，使二次型变成原则型。设可逆的线性变换,则其中定义.1 设A,为阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C,使得，则称矩阵A与B合同，称矩阵为合同变换矩阵定义表白，若A与B合同，则A与B等价,反之否则。定理410 相应任意可逆矩阵C,令，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵,且R(A）()二次型通过不同的可逆线性变换后所得到的原则形是不同的,但可以证明其正平方项与负平方项的项数是不变的.原则形中平方项的项数称为二次型的惯性指标；正平方项的项数称为二次型的正惯性指标,记为p;负平方项的项数称为
7、二次型f的负惯性指标,记为q.显然，R(A)=p+q定理.1任给二次型,总有正交变换使变为原则形其中为A的所有特性值.4.4.3 正定二次型定义.12 设有实二次型,如果对任何，均有0,则称为正定二次型，对称矩阵称为正定矩阵；如果对任何x0，均有0,则称为负定二次型，对称矩阵称为负定矩阵. 如果对任何x,均有0,则称为半正定二次型,对称矩阵A称为半正定矩阵.定理412 实二次型正定的充足必要条件是:它的原则形的n个平方项系数全为正.定理4.1 若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价:（1）是正定二次型（或是正定矩阵);（）A的正惯性指标为n；(3)存在可逆阵P,使得；（4）的n个特性值全不小于零。定理414 （1） 对称矩阵正定的充足必要条件是A的各阶顺序主子式都为正，即（2） 对称矩阵A负定的充足必要条件是:奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理。声明:由于学识有限，纰漏在所难免，望阅读者带着求真的态度阅读版本：中国农业出版社 魏福义 主编线性代数真真
