函数极限与连续

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1、第三节函数极限与连续函数极限内容网络图rmf(x)=Alim /(r)- A函数极限定义；、lixn = coUm /(x) = 8性质-唯一性，有界性，不等式.界定理单禽检用与双*m函数图b与数列sm一函数根隈与无穷小无穷大与无穷小-翔k碗、等价.函数连续定义、内容与要求1.理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.2.掌握函数极限的性质及四则运算法则3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.5. 理解函数连续性的概念（含左连续

2、与右连续），会判别函数间断点的类型6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最 大值和最小值定理、介值定理）难点 函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求 极限.三、概念、定理的理解与典型错误分析1 .函数极限的概念定义1.10lim /二丈若存在一个常数0,我 0,当兀 洞，都有XT柚血/(X)= A ”歹定义i.iiXZ把1中“ 1”换成“ 1” so前鳄okfk硅都有幽-小。定义

3、定理定义1.121.41.13lim /(x) = A 、炉 v s y arm把1中“工换成“ A 4 4fin /(x)=从/(z) = Urn 网=且XT鲂JTT枢且黑加）2设为在0（七|）有定义，若存在一个常数A,lim = A: 门 M DF ti （ 定义1.14 1而设JI灯在。的某左半邻域内有定义，若存在一个常数a, He0,当-J 一而 0当01-/ 8日时，都有 U 0J 0,当03-而卜（5定义1.16IT砧时, 称工.雨时，/是无穷大量。圾/（ +0,只要把公式中“ 必）卜M，改成“期“ 只要把上式中“ J。） M，改成“ /W o丑 o。当HU时,都有睡时读者同理可给

4、出lim （*o或-oo）/（k） = 00（+00或-00）1、, 了Tg7E义。lim /（i） = A注：*T砧lim /（x） =oo（常数）与HT通的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后, 我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。定义 1.18 AT%9。称州）当亘工。 是无穷小量。这里的 M可以是常数，也可以是他速或。lim=月（常数） /（X）=力+武幻定理 1.6。lim 的）-0其中Z物。0定义1.19若310,胡 Op当XE时，都有J （工）三，称j当工T工口是有界量。2 .

5、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系血 /W = 0,血 g(z) = 0定义1.20设Z砧TTa（这里工。可以是常数，也可以是00,+00-00,以后我们不指出都是指的这个意思）（i）若lim 犯二0 幽，称/（1）当时是gW的高阶无穷小量，记作/二心（功。7而）。11m忠席数）多0,若一二称了当彳一 /时是g（x）的同价无穷小量。I时是 纲 的等价无穷小量，记作 工）4（工）/）。lim /4=c（常数）m Q（k 谭数）（4）若访与）,称/当XT /k)gk)(#T 丽)此时（2）式也可记作称了当XT /时是无穷小量由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入版 /（x）

6、 _ 若E与g（x）前f）,如果 询式了） 均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果/（4gW 均是无穷大量，称为等价无 穷大量；如果 ，出 既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。岛/=乂（常数）h 0 江行由彳T）例如，则J w r .注：A不能为零，若A=0, /工）不可能和0等价。无穷小量的性质:性质1.8若%（工） %口式了）当工T X。时,均为无穷小量,则阿卜修1+ %&) +%(方=0(i )不T而其中(ii ) 砧M即工徒（力%=0性质1.9若一当一 %时是有界量,-卜一上一网均为常数。lim /比=0黑一*4无穷大量的性质:性质1.9有限个无穷大量之积仍是无穷大量。性质1.10

7、有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系:lim /(x) = oo,则 lim i = 0定理1.7 若lim = 8修A力#T 福2。/(彳)Em0,5.35 0,当;r E (工口 时外力 0,则2办.3.函数连续的概念。定义1.21血加卜（两），称在x=通若：-处连续。一日语言可写为定义设J （1）在为的某邻域内有定义，若Ve 0,3(5 O|x-xo| 5时，都有|/（工）-/（%）| J称，在尸片处连续。用函数值增量切形式可写为定义1.22lim Av = 0若以T。,称了国在八10处连续。，称了在X = 所处左连续。黑3/（明 派处右连续.定理1.8在而 处

8、连续 台，在而处既是左连续又是右连续。如果，在X 二工。处不连续，称的间断点。间断点的分类:lim /（x） = &常数）,四（了）在工=/处不连续，称x而是/）的可去间断（1）若：若工一】。为函数穴制的可去间断点，只须补充定义或改变 /在了二而处的函数值，使函 数在该点连续。但须注意，这时函数与 了 已经不是同一个函数但仅在 一%处不同，在其它点相同。 我们正是利用这一性质去构造一个新的函数 式】），使#在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。 当工* %时，也具有这种性质。而* X。时，F（x）=1A）,所以/。）在工工%的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的/（z） = ,lim =

9、 lim= 1例如X *皿 T0工 ，sin x 尸=4，但/在。处没定义和在X =。处不连缀设I Lx= 0，则（工）在工二Q处连续，但 明与我）定义域不同，SU1工= 0, 虽然F旬不是同一函数，但在工丰冽完全相同,又如丁1。，x = 理3视味】，师，知/（泡=o处不连缜设sin工* 0, xL x= 0.尸在工二连续，虽然也与了定义域相同，但在工二Q处，两个函数值不同，知尸与了不是同一函数，但仅在x = 0不同，其余点函数值处处相同。若基佝二方-。).蝮竺勺叫旦鹏-0)一，旃+0),称%为了W的跳跃间断点，称 如q+。)-/。广o帼(1) 的跳跃度。工二通询的第二类间断点。(1) (2)

10、两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。lim /=00若(3)若工。，左、右极限至少有一个不存在，我们称,我们也称-%为/(1)的无穷型间断点，属于第二类间断点。4.函数极限的性质在下述六种类型的函数极限：(1)如/(力血/W(1) T-Htt (2)-lim /(x)lim，(4) I；(6)布它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以只要作适当修改就可以了。(3)(4) I 砧lim /为例，其它类型极限的相应性质的叙述lim / (x)性质1.11 (唯一性)若极限才T砧存在，则它只有一个极限。lim /(x)Vjn、性质1.12 (局部有界性)若极限 把如存在，则存在

11、 喳的某空心邻域，使/团 在0订区)内有界。注意： 圾,存在，只能得出在%的某邻域内有界，得不出 / (工)在其定义域内有界。lim /(x)= At lini g(x)二瓦旦/3r性质1.13若xtXq g.|、则存在Q的某空心邻域00，使工E贝飞禽)时，都有/W。(或 0)性质1.14 (局部保号性) 若*1*4，则对任何常数0 ij 4(或(4 彳 JfO(f(x)ijO)成立。VM)血 /(x) = A? lim g(x) = B y性质1.15 (不等式)若JTTMHT而,且存在飞的某空心邻域I 0使得对一切 X E(/ B, 都有 浜纲，则於尻lim /(1)与 lim g(x)性

12、质1.16 (函数极限的四则运算)若 才T粘Eq ,均存在，则函数J士 g(x) J(K)：g)，双方(匕为常数)在K 7而时极限均存在且lmi/WgW=lim /(x)lim g(1) TT%KTX&MTM；(2)% 7W ()= fci /(x) ta g 界T如硒JTT。；lim 力了)= Clim/(了) 如式乃工0,则4 r x r(3)才T电E0 ；又若*T知g在”, Jl0时的极限也存在,且有lim /(x) 如g) 11nl以外(4)JTTM 。利用极限的四则运算，可得下列重要结果。，%力”，限均为常数,% H 0也H 0)0,融 m1 T 1 1, 白。+鼻1 -+ L+ri f + s；6 f XXlim Jf Tcd i i r瓦 +瓦一+ L + EtFt+吼上面的结论可作为公式用。lim /(x)定理1.9 (归结原则或海涅(Heine)定理)史她存在的充要条件是：V处/二/匕*而/ = 1