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1、专题五 解析几何第1讲直线与圆自主学习导引真题感悟1. (2012 浙江)设 a 取,J则 a= 1” 是“直线：ax+ 2y 1= 0 与直线 l2: x+ (a+ 1)y+ 4 = 0 平行”的A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断.若直线11与12平行，则a(a+ 1) 2X 1 = 0,即a= 2或a= 1,所以a= 1是直线11与直线12平行的充分不必要条件.答案 A2. (2012福建)直线x+ 3y 2= 0与圆x2 + y2= 4相交于A、B两点，则弦AB的长度等 于A. 2 5 B. 2 3C
2、. 3 D. 1解析 禾I用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解.圆心到直线x+. 3y 2= 0的距离 d=|0+ -3X0 2|= 1,半径 r = 2,12+ .32弦长AB| = 2 r2 d2= 2 22- 12= 2 3.答案 B考题分析两条平行线间的距离圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系 为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦 长的求法等，题目多以小题为主，难度中 等，掌握解此类题目的通性通法是重点.网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(2012 江西八所重点高中联考)“a = 0”是“直线11: (a+ 1)x+ a2y 3 = 0与直线l2：2x+
3、ay 2a 1 = 0 平行”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件审题导引求出l1 J的充要条件，利用定义判定.规范解答当a= 0时，I, x 3= 0, l2： 2x 1 = 0,此时码，所以a= 0”是“直线与i2平行”的充分条件；当 1,2 时，a(a+ 1) 2a2 = 0,解得 a= 0 或 a= 1.当 a= 1 时，2x+ y 3= 0，l2: 2x+y 3 = 0,此时 l1 与 l2重合，所以a= 1不满足题意，即a= 0.所以“a= 0”是“直线L仁”的充要条件.答案C【规律总结】直线与直线位置关系的判断方法平行：当两条直线11和
4、12的斜率存在时，12? k产k2 ;如果直线11和12的斜率都不存在， 那么它们都与X轴垂直，则片仏垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线11和12的斜率存在时，112? k1 -k2二1;若两条直线片，12中的一条斜率不存在，另一条斜率为 0时，则它们垂直.(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得.易错提示判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在 的情况，二是忽视两直线重合的情况解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行 讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误.【变式训练】1. (2012 -泰安一模)过点A(2,3
5、)且垂直于直线2x + y 5= 0的直线方程为A . x 2y+ 4 = 0B. 2x+ y 7= 0C . x 2y + 3 = 0D. x 2y + 5 = 0解析 由题意可设所求直线方程为：x 2y+ m= 0,将A(2,3)代入上式得2 2X3+ m= 0,即 m= 4，所以所求直线方程为x 2y+ 4 = 0.答案 A2.在平面直角坐标系xOy中，已知A(0， 1)，B( 3， 4)两点，若点C在/ AOB的平分线上，且|OC| = Vi0，则点C的坐标是.解析 设 C(a，b)(av 0，bv 0).OB所在直线方程为4x 3y= 0，a= 1,解得Jb= 3.Q( 1， 3).
6、答案(1, 3)考点二：圆的方程【例2】(2012镇江模拟)以双曲线X 16= 1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是.审题导引求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程.规范解答双曲线的右焦点为(5,0),即为圆心，双曲线的渐近线方程为 y=x.所求圆的方程为(x 5)2+ y2= 16.答案(x 5)2 + y2= 16【规律总结】圆的方程的求法(1) 几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦 中点的连线相互垂直；设圆的半径为 r，弦长为AB|，弦心距为d，则r2= d2 +豊等.(2) 代数法：即设出圆的方程
7、，用待定系数法求解.在求圆的方程时，要根据具体的条件 选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷.【变式训练】3. (2012徐州模拟)若圆心在x轴上、半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x+ y= 0 相切，则圆O的方程是.解析设圆心为(a,0)(av 0)解得a= 2，即(x+ 2)2 + y2 = 2.答案(x+ 2)2 + y2= 2考点三：直线与圆的位置关系【例3】(2012临沂一模)直线I过点(4,0)且与圆(x- 1)2 + (y 2)2= 25交于A、B两点，如果AB| 二8,那么直线I的方程为.审题导引讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程.规
8、范解答圆心坐标为M(1,2),半径r= 5,因为|AB|= 8,所以圆心到直线I的距离d = 4 = 5 4=3.当直线斜率不存在时，即直线方程为 x=4,圆心到直线的距离为3 满足条件，所以x=4成立.若直线斜率存在，不妨设为 k,则直线方程y= k(x 4),即kx yK 2 4k|2+ 3k|54k= 0,圆心到直线的距离为d=.2 = 2= 3,解得k= 12，所以直线方程为yW + k yjl + k125=12(x 4),即卩5x 12y 20= 0.综上满足条件的直线方程为 5x 12y 20= 0或x = 4. 答案 5x 12y 20 = 0 或 x= 4【规律总结】求圆的弦
9、长的方法(1) 直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2) 不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k,直线与圆联立消去y后得到的方程的两根为xi、x2,贝U弦长d = 1 + k2|xi X2|；(3) 利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.【变式训练】4. (2012肇庆二模)从点P(m,3)向圆C: (x+ 2)2+ (y+ 2)2= 1引切线，则切线长的最小值 为A. 2 6B. 26C. 4+ 2D. 5解析 禾I用切线长与圆半径的关系加以求解.设切点为M，则CM JMP ,于是切线 MP 的长 |MP|= . CP|2 |MC|2
10、=；m+ 2 2+ 3+ 2 2 1,显然，当m= 2时，|MP|有最小值.24= 2 6.答案 A名师押题咼考【押题1】若过点A(2, m), B(m,4)的直线与直线2x+y+ 2 = 0平行，则m的值为.解析当m= 2时，直线AB与2x+ y+ 2 = 0不平行；当mH 2时，据题意知，4 mkAB= 2,得 m= 8.m+ 2答案 8押题依据本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题,常以选择题或填空题的形式出现考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值 等.解答此类题目值得注意的是含参数时， 一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论, 以避免漏解.【押题2】直线y= kx+ 3与圆(x 1)2+ (y+ 2)2= 4相交于M、N两点，若|MN|2 3，则 k的取值范围是( 12) ( 12 (12)( 121|A. ，亏B. ，亏C. 乂，亏D. 乂，牙解析 圆心(1， 2)到直线y= kx+ 3的距离为|k+ 5|d=2，圆的半径1 + kr = 2，|MN| = 2 r2 d2= 2 4- M 23，解得k -5.答案 B押题依据高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押 此题.
