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1、并联机器人的雅可比，可操作性，条件数和精度（翻译论文）虽然在最早的机器人研究中就已经有了雅可比矩阵的概念、可操纵性、条件 数的概念，但是它们的真正意义并不是很好理解。在本文中，我们重新审视这些 作为并联机器人优化设计精度指标的概念。首先，我们指出，通常的雅可比矩阵 的输入一输入方程可能不足以分析平台的定位误差。然后我们检验可操纵性的概 念，表明其经典的解释是错误的。我们考虑各种常见的局部灵巧指数，其中大部 分是基于雅可比矩阵的条件数。值得注意的是，即使对于一个给定的机器人，在 一个特定的姿态也会有各种各样的条件数，这些条件数之间都不一致，和我们想 得到的精度指标也不一致。然后考虑了全局调节指数
2、。除了存在基于错误的局部 准确性指数的问题外，还有一个忽略了大部分时间而进行计算的计算问题。最后， 我们检验了其他哪些指标可用于优化设计，并且介绍了计算它们的难度。1 引言我们将使用一个相对通用的非冗余并联机构的定义。当一个机构用至少两个 运动链来控制自由度 n6 的末端执行器时，我们定义它为并联机构，而其他的 6-n 个自由度是一个恒定值通过单自由度驱动关节控制。此外，如果将驱动器锁 定，则末端执行器的自由度为 0，非驱动关节有一个单自由度。这样的定义涵盖 了经典的六自由度机器人，比如Gough和Hexa平台,还有少于六自由度的机构， 如 Delta 和 3-UPU 机构。如今，并联机构的应
3、用领域越来越广，如望远镜、精定位装置、包装速度快、 机床、医疗。对尺寸非常的敏感是并联机构优化设计的一个关键问题。最优设计 的方法有静力学性能指标。精度显然是许多应用中的一个关键问题。并联机构也 有串联机构的一些关键问题，因此，针对这些问题做了很多广泛的研究，定义除 了很多准确性指标，这些结果已经应用到并联机构上。本文的目的是检验这些指 标是否适用于并联机构。雅可比矩阵和逆雅可比矩阵用于研究末端执行器的定位 精度的，为了这个目的，很有必要研究它们的概念。2 雅可比矩阵和逆雅可比矩阵让X表示末端执行器的广义坐标，由末端执行器的N个自由度参数组成。a而让 X 表示末端执行器的所有广义坐标，即，一组
4、参数完全描述末端执行器的 移动和方向。对于参数X的选择，我们不考虑任何限制（如：一个Gough机器 人平台的姿势可能用末端执行器上三个不相关联的三个点的九个坐标来表示）。末端执行器的扭转W由平移速度V和角速度Q组成，将受限制的转动定义 为W。众所周知，机器人拥有至少两个旋转自由度。W不是X对时间的导数， a因为这里没有表示方向的衍生品对应的角速率。不过，通常存在矩阵H、K使得W = HX X = KW机器人的内部几何形状可以用一系列参数进行描述，这些参数可以描述大多 数或者全部的关节，包括被动的非驱动关节。这些变量是关节变量矢量0组成的。通常定义的雅可比矩阵J涉及到关节变量矢量0，关节变量矢量
5、0受到驱K动关节的限制，并且基于驱动关节速度0和受限制扭转W之间的线性关系aaW = J 0a k a在本文中，我们只考虑非冗余机器人，所以雅可比矩阵 J 是方阵，我们将它称 k之为运动雅可比。并联机器人的一个特点是，通常很容易建立一个解析形式J-1,k然而获得 J 往往很困难甚至是不可能的事。要计算运动学逆雅可比，我们可能 k会使用的速度分析，但正如Gosselin所提到的，也可以使用闭合环路的运动方程 来得到运动学逆雅可比，运动闭合回路方程的一般形式为E (X , 0 ) = 0aa 因为我们已经将唉设机器人是非冗余的，而且如果它的驱动都被锁死，末端执行 器是不能运动的，所以肯定恰好存在n
6、个这样的方程。用微分方程表示我们可以 得到0 + X = U 0 + VX = 0Q0 a dX ak a a aaa利用式(I)对W的限制，只要U不是奇异的我们就可以得到 akJ-1 二-U-V K Wkk a a aGosselin和Angeles已经对并联机器人奇异性问题作了初步研究，他们区 分了当U是奇异时的串联奇异(或1型)与当V是奇异时的并联奇异(或2型)。 ka 根据这个定义，在一个并联的奇异位置，即使驱动关节被锁住末端执行器也是可 动的。一个典型的测量误差的例子是，驱动关节变量的测量值没有改变，而末端 执行去却又一个位移。因此，精度分析也涉及到了奇异性分析。我们也可以定义其他的
7、雅可比矩阵。该雅可比矩阵中包含了描述被动关节参 数0中的参数。在并联机器人中存在着大量的这样的参数，因此 0 将被定义为 一个N维向量(0 ,0 )，其中0对应被动关节的参数，N表示运动关节的总数 a pp量。一些机器人的设计目标是自由度小于 6，其余的自由度是一个定值，末端执 行器依然是一个6自由度的刚体。在优化设计的时候需要检查所有自由度的定位 误差。确定末端执行去全部转动 W 的逆雅可比矩阵是很有意思的。为了确定这个逆雅可比矩阵，我们将运动学封闭环路方程写作：G(0, X ) = 0这个方程中未知数的数目是N+n。我们已经假定当n个驱动器锁定后，末端执行 器是不能运动的，所以在该系统中方
8、程 G 解的数目必须是有限的，即，方程的 数目必须与未知数的数目相同，都是N个。将式(6)求微分我们得到竺 0 +竺X = A0 + B0 + CX = 0Q0dXa P其中，A是N x n阶矩阵，B是Nx(N-n)阶矩阵，C是N x 6阶矩阵。Zlatanov8得出了类似的表达式，不同之处在于他使用的是受限制的旋转W，此时的W可 aa能通过W = T 0来获得。他的目的在于将式（7）化为 a（0、（0 ）aa0=L0ppWWV7 丿（A B CK）0其中，L是Nx（N + 6）的矩阵。这个式子还可以写成-（A B）0 = D0 = CKW其中，D是NxN的矩阵。如果D是非奇异矩阵，我们就可以
9、得到它的逆雅可比 矩阵0 二一D-iCKW = J-iW其中，J-1是Nx6的矩阵。在大多数情况下，速度分析可以消除式（10）中被动关节速度0，从而得 p到之关系到0和W的简单雅可比关系。a（0 ）a = J-1WI 0丿f其中，J-1是Nx6的矩阵，这个矩阵称为全逆运动学雅可比。通常的雅可比矩阵 fk限制了从J-1得到W。式（10）中逆雅可比矩阵J-1的重要特性是，无论末端执行 fka器处在什么样的位置，逆雅可比矩阵J-1和全逆运动学雅可比的秩相同。Zlatanov提出了六种他称之为奇点的情况,其中式（8）没有一个通用的行为。 因为我们只考虑末端执行器的运动，所以我们之考虑一下的情况：冗余输
10、出（RO）：当W丰0时，0使得式（8）满足0二0。换句话说，即 pa使驱动器被锁住，末端执行器也会运动（着通常叫做奇异位形）。全逆运动学雅 可将不是满秩。瞬时自由度增加（IIM）：当矩阵L的秩小于N时。必须注意到，式（10）描述了一个机器人的固有特性。我们可以改变姿势参 数向量X （比如，对于有一个动平台的Gough机器人，可以选择不同的X的元 素，即末端执行器上三个特定独立点的九个坐标），而得到相同的方程。我们可以进一步拓展式（7），考虑机器人的几何参数P （例如，Gough平台 分支定位点的位置）。出于这一目的，运动学方程将被写成G（P,0,X）= 0，矩阵P 的偏导数 G 矩阵允许定位错
11、误的末端执行器 P 存在一个定量误差的影响。虽然 这种影响对于并联机器人可能很重要9 -5，但我们不去解决这个问题，不过部 分影响可以通过校准来减少。可以看到，逆雅可比矩阵不止有一个，而是有很多。值得关注的是，就单位 方面而言，涉及到末端执行器完整扭转 W 的逆雅可比矩阵元素将通常不是齐次 的。因此，这个矩阵的很多特性不会因单位的改变而改变，例如它的行列式、轨 迹等（如16对灵巧指数不变性的讨论）。这也将是涉及到末端执行器转动和移 动自由度逆雅可比矩阵的情况。涉及到机器人末端执行器移动和转动自由度的也 是运动学逆雅可比矩阵的情况。最后，值得注意的是，通过二重性，运动学逆雅 可比矩阵也可应用于并
12、联机构静态分析，即，在平台上的关节和构件上力和力矩 之间的关系17、18。在本文中，我们会关注末端执行器在测量参数0下无法被检测到的运动。 a这将会在一下两种情况下发生：不可测量的主动关节运动，这种用对对应测量准确性的限制A0 a Zlatanov对冗余输出（R0）和瞬时自由度增加（IIM）的几点分类 为了研究这两种情况，我们需要用到全逆运动学雅可比而不仅仅是运动学逆 雅可比矩阵，在例 2.1 中对此进行强调。例2.1 3-PUP并联机器人Tsai4已经提出了 3移动并联机构3-PUP（如图1）。 每个分支的组成为，从底部起，由一个U副连接一个由直线驱动器驱动，长度 可变的杆，杆的另一端也是连
13、接一个U副，该U副的轴线方向与底部U副轴线 方向相同。这种约束理论上可以使末端执行器有一个移动自由度。通过这个例子 我们可以确定全逆运动学雅可比矩阵，并且可以看到这个雅可比矩阵的重要性。 需要说明的是，这样的机构已经由首尔国立大学（SNU）设计出来，但在各分支 长度相同的姿态下，机构表现出奇怪的行为，虽然直线驱动器被锁住，末端执行 器却表现出明显的定向运动。对于这种现象有两种可能的原因：末端执行器的位置对制造误差是非常敏感的。事实上，这种机器人只是理论 上有三个评议自由度，因为它要求底部和动平台上的 U 副轴线完全对齐。在实 际中，这种对齐是不可能实现的，这样将导致转动自由度的产生。Han等1
14、9和 Parenti-Castelli和Di Gregorio20对制造误差对定位精度的影响进行了研究。虽 然这个机器人表现出了很强的敏感性，但是仅仅因为敏感性还无法解释SUN模 型为何有如此大的转动。机器人处在奇异位形；这是先天的缺陷，因为运动学逆雅可比矩阵的行列式 在任何奇异的姿态都不为0。Bonev和Zlatanov21第一次将这种现象解释为约束奇异。Di Gregorio和 Parenti-Castelli22， Joshi 和 Tsai23， Wolf 等24近期对此做出了相同的解释。 这个现象已经成为了典型的奇异的例子，奇异仅仅通过输入输出速度方程无法求 解，即今通过运动学逆雅可比
15、矩阵无法解释。首先，我们将确定全逆运动学雅可比的解析形式。我们用B ,B ,B来表示动123平台上U副的中心，用V,0表示末端执行器的移动和转动速度。B点的速度ViBi为V 二V + BCxQB1我们定义n为分支i的单位向量，p为分支的长度，p为直线驱动器的速度。我 , iii们可以计算式（12）左右两边的点积V - n = p n = V - n +（BC xQ） n = V - n +（CB x n ）QBi i * i ii11111i定义u ,v为U副B处两个关节轴的单位向量，底部和动平台上所有U副的这些i ii向量都是相同的。分支相当于地步的角速度和动平台相当于分支的角速度lp为W =Qiu +ai vl A i A iW =QiU i V p B i B i动平台的角速度可以通过下式获得Q = w + w = lp+e. i)u +Bi+ a i *B)vi定义s二u xV，计算上式等号两边对s的点积，我们可以得到恒等式i i ii这表明末端执行器不能绕着通过B单位向量为s的直线转动。结合式（13）和式ii（14）我们可以得
