《3.中点方法证明立体几何中的垂直平行》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.中点方法证明立体几何中的垂直平行（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)中点方法证明立体几何中的垂直平行立体几何中垂直平行的一个证明方法 立体几何中的垂直、平行的证明是高考的必考问题,当有中点条件出现或适当地引入中点,并灵活运用中点性质,是证明垂直、平行的有力方法.母题结构:立体几何中的中点方法.解题程序:立体几何中的中点方法包括三个层次的问题:构造中点:除取棱的中点外,还可利用平行四边形的对角战线互相平分,构造中点;中点性质:等腰三角形三线合一定理,中位定理,并由此可得:空间四边形各边中点构成平行四边形的顶点;利用中点性质,解决相关问题. 1.活用中点巧证明
2、子题类型:(1982年全国高考试题)已知空间四边形ABCD中,AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证:MNPQ是一个矩形.解析:由M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点MNAC,PQAC,MQBD,NPBDMNPQ,MQNP四边形MNPQ是平行四边形;取AC的中点K,由AB=BC,CD=DABKAC,DKACAC平面BDKACBDMQPQ平行四边形MNPQ是一个矩形.点评:若出现了中点条件,这时我们应特别留意这一条件,因为它往往是解决本题的关键,在立体几何中若能利用好中点,平行问题的证明将会变得更具特征性. 2.选取中点证平行 子题
3、类型:(2014年四川高考试题)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.()若ACBC,证明:直线BC平面ACC1A1;()设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC？请证明你的结论.解析:()由四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形A1AAB,A1AACA1A平面ABCA1ABC,又ACBC直线BC平面ACC1A1;()取AB的中点M,设O为A1C,AC1的交点,则O为AC1的中点MOBC1;由D,E分别是线段BC,CC1的中点DEBC1MODE,又MO平面A1MC,DE平面A1MCDE平面A1MC线段AB上存在一点M(
4、线段AB的中点),使直线DE平面A1MC.点评:选取中点证平行的原则为:若知一中点,即想办法找出另一个中点,注意能否应用三角形中位线、梯形中线等,使之能利用中位线性质,得到两直线平行或平行四边形. 3.构造中点证垂直 子题类型:(2011年江西高考试题)如图,在ABC中,B=,AB=BC=2,P为AB边上一动点,PDBC交AC于点D,现将PDA沿PD翻折至PD,使平面PD平面PBCD.()当棱锥-PBCD的体积最大时,求PA的长;()若点P为AB的中点,E为C的中点,求证:BDE.解析:()设PA=x,则PB=x,BP=2-x直角梯形BCDP的面积S=(2+x)(2-x);由PPD,平面PD平
5、面PBCDP平面PBCD棱锥-PBCD的体积V(x)=SP=(2+x)(2-x)x(x)=(4-3x2)当x=,即PA=时,V(x)取最大值;()取B的中点F,由E为C的中点EFBC;由点P为AB的中点PDBCPDEF四边形EFPD为平行四边形DEPF;在等腰直角BP中,PFBBDE.点评:当题目中给出中点或在一个三角形中有两边相等时,利用好中点性质,即等腰三角形三线合一定理,往往是解题的关键 4.子题系列:1.(2009年江苏高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.求证:()EF平面ABC;()平面A1FD平面BB1
6、C1C.2.(2011年江苏高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=600,E、F分别是AP、AD的中点.求证:()直线EF平面PCD;()平面BEF平面PAD.3.(2012年江苏高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且ADDE,F为B1C1的中点.求证:()平面ADE平面BCC1B1;()直线A1F平面ADE.4.(2014年江苏高考试题)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.()求证:直
7、线PA平面DEF;()平面BDE平面ABC.5.(2009年山东高考试题)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分别是棱AD、AA1的中点.()设F是棱AB的中点,证明:直线EE1平面FCC1;()证明:平面D1AC平面BB1C1C.6.(2014年湖北高考试题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1的中点,求证:()直线BC1平面EFPQ;()直线AC1平面PQMN.7.(2013年北京高考试题)如图,在四棱锥P-ABCD中
8、,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:()PA底面ABCD;()BE平面PAD;()平面BEF平面PCD.8.(2015年江苏高考试题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1CBC1=E.求证:()DE平面AA1CC1;()BC1AB1.9.(2013年山东高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,ABAC,ABPA,ABCD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.()求证:CE平面PAD;()求证:平面EFG平面EMN.10.(2015年山
9、东高考试题)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.()求证:BD平面FGH;()若CFBC,ABBC,求证:平面BCD平面EGH. 5.子题详解:1.解:()由E,F分别是A1B,A1C的中点EFBC,又EF平面ABC,BC平面ABCEF平面ABC;()在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面A1B1C1BB1A1D,又A1DB1CA1D平面BB1C1C平面A1FD平面BB1C1C.2.解:()由E、F分别是AP、AD的中点EFPD,又EF平面PCD,PD平面PCD直线EF平面PCD;()由AB=AD,BAD=600ABD是正三角形BFAD,又平面PAD
10、平面ABCDBF平面PAD平面BEF平面PAD.3.解:()由在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1平面ABCBB1AD,又ADDEAD平面BCC1B1平面ADE平面BCC1B1;()由AD平面BCC1B1ADBC,又A1B1=A1C1AB=ACD为BC的中点四边形AA1FD是平行四边形A1FAD,又A1F平面ADE,AD平面ADE直线A1F平面ADE.4.解:()由D,E分别为棱PC,AC的中点DEPA直线PA平面DEF;()由DEPA,PAACDEAC;由PA=6,BC=8,DF=5DE=3,EF=4DE2+EF2=DF2DEEFDE平面ABC平面BDE平面ABC.5.解:()设A1B1
11、的中点为F1,由A1F1,D1C1和CD平行且相等四边形A1DCF1为平行四边形A1DF1C,又EE1A1DEE1F1C直线EE1平面FCC1;()在等腰梯形ABCD中,由AB=4,BC=CD=2ACBC;由C1C底面ABCDC1CACAC平面BB1C1C平面D1AC平面BB1C1C.6.解:()由E、F、P、Q分别是棱AB、AD、DD1、BB1的中点EFBD,EQAB1,又AB1DC1EQDC1平面BC1D平面EFPQ直线BC1平面EFPQ;()由A1DAD1,A1DC1D1A1D平面AC1D1A1DAC1,又N是A1D1的中点NPA1DAC1NP;同理可得AC1MQ直线AC1平面PQMN.
12、7.解:()由ABAD,平面PAD底面ABCDAB平面PADABPA,又PAADPA底面ABCD;()由ABCD,CD=2AB,E是CD的中点DE=AB四边形ABED是平行四边形BEADBE平面PAD;()由ABCD,ABADCDAD,又PA底面ABCDPACDCD平面PAD;由BEAD,EFPD平面BEF平面PADCD平面BEF平面BEF平面PCD.8.解:()由四边形BCC1B1是平行四边形E是B1C的中点,又AB1的中点为DDEACDE平面AA1CC1;()由CC1平面ABCCC1AC,又ACBCAC平面BCC1B1ACBC1;由BC=CC1BC1B1CBC1平面AB1CBC1AB1.9
13、.解:()设AP的中点为H,则EHAF,且EH=AF;由ABCD,AB=2CDAFCD,AF=CDEHCD,且EH=CD四边形CDHE是平行四边形CEDH,又CE平面PAD,DH平面PADCE平面PAD;()由E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点EFPA,FGAC平面EFG平面PAC;由ABAC,ABPAAB平面PACAB平面EFG;又MNCD,ABCDMNABMN平面EFG平面EMN平面EFG平面EFG平面EMN.10.解:()设CD与FG的交点为O,三棱台DEF-ABC中,由AB=2DEAC=2DFGC=DF,且GCDF四边形CFDG是平行四边形O是CD的中点,又H是BC的中点HOBDBD平面FGH;()由AB=2DEBC=2EFHC=EF,且HCEF四边形EFCH是平行四边形EHFC,又CFBCBCEH;由GHAB,ABBCBCGHBC平面EGH平面BCD平面EGH.
