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1、江苏新高考本部分内容在高考中基本年年都考，并以压轴题形式考查. 2012，2013年主要考查组合计数；2014年考复合函数求导和数学归纳法；2015年考查计数原理为主，又涉及到数学归纳法；2016年考查组合数及其性质等基础知识，考查考生的运算求解能力和推理论证能力；2017年考查概率分布与期望及组合数的性质，既考查运算能力，又考查思维能力.近年高考对组合数的性质要求较高，常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇考查.第1课时计数原理与二项式定理(能力课)常考题型突破计数原理的应用例1一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”记集合1,2,3，3n的子集中所有“好集”的个数
2、为f(n)(1)求f(1)，f(2)的值；(2)求f(n)的表达式解(1)当n1时，集合1,2,3中的一元好集有3，共1个；二元好集有1,2，共1个；三元好集有1,2,3，共1个，所以f(1)1113.当n2时，集合1,2,3,4,5,6中一元好集有3，6，共2个；二元好集有1,2，1,5，2,4，3,6，4,5，共5个；三元好集有1,2,3，1,2,6，1,3,5，1,5,6，4,2,3，4,2,6，4,3,5，4,5,6，共8个；四元好集有3,4,5,6，2,3,4,6，1,3,5,6，1,2,3,6，1,2,4,5，共5个；五元好集有1,2,4,5,6，1,2,3,4,5共2个，还有一个
3、全集故f(2)1(25)2823.(2)首先考虑f(n1)与f(n)的关系集合1,2,3，3n,3n1,3n2,3n3在集合1,2,3，3n中加入3个元素3n1,3n2,3n3.故f(n1)的组成有以下几部分：原来的f(n)个集合；含有元素3n1的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n2的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n3的“好集”是1,2,3，3n中各元素之和被3除余0的集合合计是23n；含有元素是3n1与3n2的“好集”是1,2，3，3n中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n2与3n3的“好集”是1,2，3，3n中
4、各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n1与3n3的“好集”是1,2，3，3n中各元素之和被3除余2的集合合计是23n；含有元素是3n1,3n2,3n3的“好集”是1,2，3，3n中“好集”与它的并，再加上3n1,3n2,3n3所以f(n1)2f(n)223n1.两边同除以2n1，得4n.所以4n14n241(n2)又也符合上式，所以f(n)2n1.方法归纳(1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在操作中确保：分类不重不漏；分步要使各步具有连续性和独立性. 解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问
5、题.(2)本题是有关数论问题，其难度较大，求解关键是得出f(n1)与f(n)的关系，求解中用到归纳法和分类讨论思想. 变式训练(2017苏北三市三模)已知集合U1,2，n(nN*，n2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若AB，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)(1)写出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)求f(n)解：(1)f(2)1，f(3)6，f(4)25.(2)法一：设集合A中有k个元素，k1,2,3，n1.则与集合A互斥的非空子集有2nk1个于是f(n)(2nk1)(2nk)因为2nk
6、2nkC2nC20(21)n2n13n2n1，CC2n2，所以f(n)(3n2n1)(2n2)(3n2n11). 法二：任意一个元素只能在集合A，B，CU(AB)之一中，则这n个元素在集合A，B，C中，共有3n种，其中A为空集的种数为2n，B为空集的种数为2n，所以A，B均为非空子集的种数为3n22n1.又(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，所以f(n)(3n2n11).二项式定理的应用例2(2017苏北四市期末)已知等式(1x)2n1(1x)n1(1x)n.(1)求(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CC CCCC；(2)证明：(C)22(C)2n(C)2nC.解(1)
7、(1x)2n1的展开式中含xn的项的系数为C，由(1x)n1(1x)n(CCxCxn1)(CCxCxn)，可知(1x)n1(1x)n的展开式中含xn的项的系数为CC CCCC.所以CC CCCCC.(2)证明：当kN*时，kCknnC.所以(C)22(C)2n(C)2k(C)2(kCC)(nCC)n(CC)n(CC)由(1)知CC CCCCC，即(CC)C，所以(C)22(C)2n(C)2nC.方法归纳二项式定理中的应用主要是构造一个生成相应二项式系数的函数，通过研究函数关系证明恒等式、不等式和整除性问题.将二项式定理(ab)nCoal(0,n)anCoal(1,n)an1bCoal(r,n)
8、anrbrCoal(n,n)bn中的a，b进行特殊化就会得到很多有用的有关组合数的相关和的结果，这是研究有关组合数的和的问题的常用方法.还可以利用求函数值的思想进行赋值求解.变式训练(2017南京、盐城一模)设nN*，n3，kN*.(1)求值：kCnC；k2Cn(n1)CnC(k2)；(2)化简：12C22C32C(k1)2C(n1)2C.解：(1)kCnCkn0.k2Cn(n1)CnCk2n(n1)nk0.(2)法一：由(1)可知，当k2时，(k1)2C(k22k1)Ck2C2kCCn(n1)CnC2nCCn(n1)C3nCC.故12C22C32C(k1)2C(n1)2C(12C22C)n(
9、n1)(CCC)3n(CCC)(CCC)(14n)n(n1)2n23n(2n11)(2n1n)2n2(n25n4)法二：当n3时，由二项式定理，有(1x)n1CxCx2CxkCxn，两边同乘以x，得(1x)nxxCx2Cx3Cxk1Cxn1，两边对x求导，得(1x)nn(1x)n1x12Cx3Cx2(k1)Cxk(n1)Cxn，两边再同乘以x，得(1x)nxn(1x)n1x2x2Cx23Cx3(k1)Cxk1(n1)Cxn1，两边再对x求导，得(1x)nn(1x)n1xn(n1)(1x)n2x22n(1x)n1x122Cx32Cx2(k1)2Cxk(n1)2Cxn.令x1，得2nn2n1n(n
10、1)2n22n2n1122C32C(k1)2C(n1)2C，即12C22C32C(k1)2C(n1)2C2n2(n25n4)组合数的性质应用例3(2017苏北四市调研)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其他每一个数值是它上面的两个数值之和，这个三角形数阵开头几行如图所示(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，且该行中三个相邻的数之比为345？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n，r为正整数，且nr3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列解(1)杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k0,1,2，n组成如果第n行中有，那么3n7k3,4n9k5，解得k27
11、，n62.即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为345.(2)证明：若有n，r(nr3)，使得C，C，C，C成等差数列，则2CCC，2CCC，即，.所以有，化简整理得，n2(4r5)n4r(r2)20，n2(4r9)n4(r1)(r3)20.两式相减得，n2r3，于是C，C，C，C成等差数列而由二项式系数的性质可知CCCC，这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立方法归纳(1)对于组合数问题，需要熟记并能灵活运用以下两个组合数公式：CC，CCC.(2)对于二项式定理问题，需掌握赋值法和二项式系数的性质，并能将二项式系数与二项展开式系数区别开来变式训练设(1x)na0a1xa2x2anxn
12、，nN*，n2.(1)若n11，求|a6|a7|a8|a9|a10|a11|的值；(2)设bkak1(kN，kn1)，Smb0b1b2bm(mN，mn1)，求的值解：(1)因为ak(1)kC，当n11时，|a6|a7|a8|a9|a10|a11|CCCCCC(CCCC)2101 024.(2)bkak1(1)k1C(1)k1C，当1kn1时，bk(1)k1C(1)k1(1)k1C(1)k1C(1)k1C(1)kC.当m0时，1.当1mn1时，Sm1(1)k1C(1)kC11(1)mC(1)mC，所以1.综上，1.课时达标训练1设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集(1)若Ma1，a2，a3，a4，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2)若Ma1，a2，a3，an，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数解：(1)110.(2)集合M有2n个子集，不同的有序集合对(A，B)有2n(2n1)个当AB，并设B中含有k(1kn，kN*)个元素，则满足AB的有序集合对(A，B)有(2k1)2k3n2n个同理，满足BA的有序集合对(A，B)有3n2n个故满足条件的有序集合对(A，B)的个数为2n(2n1)2(3n2n)4n2n23n.2(2017南京、盐城二模)现有(n2，nN*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形
