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1、高等数学习题库淮南联合大学基础部2008年10月1第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次:1:已知:A=x|1wxw2Ux|5wxw6U3,B=y|2yN时，就有lim卫limnn_:一:：13叫值2弓1(4)limJ1+-n解：(1)n2n厂刃，又7(2)由于1222川川.2nl|im5n=0,所以0_lim-n_0x：3“n故:3n2计1)力口1)T1)(2n+_)6nn又因为：lim(1_L)(2n_L)=_L，所以：F6nn3，寸411*22T(3)因为：lim所以：(4)因为:+*nGTTT).1时rtanJ-,1cos龙2*厂”习题四无穷小的比较、函数的连续及性质基本
2、理论层次1：证明下列报限:lirn(1) L0J-lim于-=1;i-I?(2)证(1)由于rFUm应*)=limh(1+丁JTL0利用对数函数的连续性Jim(l+.r)!=e以及极限的复合运算法则，我们有j0令eT-1=J(则TAln(l+r)p并且当左_0时，lq.由(I)我们福fl一二怔iATVT)讨论函数一的连续性一并判断间断点的类型2:解根据三角函数的连续性和定理6.1,除了使无定文的点工=卜之外*/在(一 : +2(m=0,t1t2,)以及使tan.t=0的点r内其余点均连续？由于lirn=1/的第-类间断点可去间断点人又r-utanjc所以r=0lini=8（冗=二1,堤）*工一
3、*onjt所以乂二和兀是f的第二类间断庶（无穷何断点人最后，因为所以厂可开专也是/的第一类间断点（可去间断点）.第二章一元微分学及应用习题一导数及求导法则、反函数及复合函数的导数基本理论层次-21 .设f(x)二21,x-1)试求常数a,b,使f(x)在x=1处可导。-x2+bx,xcl2解：首先必须f(x)在乂=1处连续,f(1-0)=limf(x)=1im(-x+bx)=b-1f(1+0)=limf(x)=lim(ax2+1)=a+1,由f(1-0)=f(12f(x)-f(1)-xbx-(a1)f-(1)=limrlimx1x-12二a,又因为f(1Alim也x1由f(1)=f_(1)得a
4、=0,从而b=2o+0)f(1)得b-1=a+1,即b=a+2二lim-(x-1)x-(a1)x11(a。o-=2a.K1xxx2.求函数y=x+xx,(xo)角华：xxxxInxxxxxInxxInxeIxInxxxInxeInxx-exxInxxxInXIn x xxxiInxIn3f(、3fx)P_3x2布区:fx=1x-1x-2x-2x-1fW-1g2)J1、飞X1P-2)J-1-1_22(X2)(X(-1茁2(-nt2L3(x1”_1n1n;1)(x1)2atX=i+F求dy3at2y相e,xe解：虬认Adxxt2att=2勺at2又因为6at(1+t)-3atL2t6at(XT-2
5、)J；(x-2) (x-1) J由数学归纳法可得.(-1) n (-1 ndn)(x)=n 卅.(X2)4.求下面的参数万程所确定的函数的与数。-6aI - I22t3+6atyt尹k(1+t2)(1+t2)2a(1+t2)2atL2txt厂(1+t2)233dy6a-6at6at3-3at33t_22.dx2a-2at1-t导数的运算、高阶导数、隐函数及参数方程确定的函数的导数、函数的微分中值定理罗必达法则泰勒公式基本理论层次求函数y=sin（2x计1）的微分.解令址=2工+1则由（3-4）式.dycosuducos（2工+1）?2d_r=（2无*!）dx*2.求函数v-ln（l+e?）的微
6、分.解同求复合函数导数一样，求复合函数徽分时也可不写出中间变量按如下步骤进行：1 + eJ72 FP* dj;. I1 +er1斗言寸)=h2仑才2.rdz=3.0t求厂”)?解当工0时/sin才+H肪由于lirnf(r)-lim=0tlim厂(：r)二lini(sin工+工cosn)=0，柱区间(Lr-*r0j-*0j-Hl?8)与(-QO,0上分别应用推论4?3,则有/；(0)=0,八(2JC,.r0.I4证明：当工0时，1+JL证将题中的不等式变形为7-1-八由于1JCXln(1+r)Iti(1+.r)In1x-j-07所以可取+Q作为辅肋函数，容易验证川小隹0wI上满足Lagran炉定
7、理的条件，因而至少才在f?(0,工)”使/力一j(0)=f(f)(x-0)-即又因为f?(0f.r),故有从而有In(1+/)0)-I1+x5J求limr-er-3x-1io解由于当？L0时一1JIeJ-I一八所以* limZ r ()求lim6.lim (al 9aAQ).7.求Jimr-1, a (lim iA 1）（a :伊/同十1）工” （In13/一亡J:解 这两个极限都属于恳型不定式应用 LHdApital法则得:#习题四导数的应用基本理论层次1.证明：当0,r1时,？告二I一屁证为了证明此题中的不等式只要证明(1-I+JT(OE内严格单阖减,得f(V)=0,或(1?工、&1+.因
8、此原不等式成立综合练习题1、设f(X)在X=a可与，贝Ulim，也一二xTX2、设(3)=2,则limf(3_h)凹二。i2h13、设f(x)二e*,则”叫f(2h-哈-=。cosX兀4、已知f(x),f(xo)-2,(0二X。：一)，贝Uf(XQ)=1-sinx2-5、已知x2y?y2x-2=0,则当经x=1、y=1时，史=dx6f(x)=xeX,贝Uf(In2)=。7、如果y=ax(a0)是y=x21的切线，贝Ua-8、 若f(x)为奇函数，f(x)=1且，则f(-x)=9、 f(x)=x(x1)(x2川|(xn),贝lf(0)=10、yJn(13公)，贝Uy=x11、设f(xo)=-1,则limxTf(xo_2x)_f(Xo_x)12、设xy=tany,贝Udy二。13、设y=1nJ2,则y(0)=14、设函数y=f(x)由方程xy2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是T、115、f(x
