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1、二次根式知识归纳一、知识结构图平方根算术平方根二次根式化简运算加减乘除最简二次根式同类二次根式实数的绝对值的性质二、重点梳理（一）二次根式的有关概念1形如（a0）的式子叫做二次根式事实上（a0）表示非负数a的算术平方根（正数a的正的平方根叫做正数a的算术平方根。零的算术平方根是零）如的算术平方根是 .2满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式.3几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.如是同类二次根式.4把分母中的
2、根号化去叫做分母有理化常用的有理化因式：（1）与； （2）与； （3）与如与；与1-； 与. （二）二次根式的主要性质（1）（a0）是一个非负数，即0（a0）；（2）()2=a (a0)；（3） ；（4）二次根式的乘法法则：（5）二次根式的除法法则：（三）二次根式的运算（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项）。（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变。三、特别关注1. 注意二次根式的双重非负性，它表示非负数a的算术平方根.：(1)被开方数a必须是非负数. (2) 的结果是非负数. 即0（a0
3、）.2注意二次根式的乘除法则的使用条件，及会逆用乘除法法则对二次根式进行化简即，但，因为分母为零时，分式无意义。3 二次根式的加减的关键就是合并同类二次根式.为判断同类二次根式应先将二次根式化简，二次根式运算的结果也应尽可能化简.4 在进行二次根式的混合运算时，要注意充分运用有理数（或式）的运算律、运算法则、乘法公式及借助有理式运算中的分解因式、通分、约分等方法，简化运算过程，提高运算速度。四、思想方法（一）类比思想：二次根式是在算术平方根的基础上引入的，二次根式的加减是类比合并同类项得到的。（二）分类思想：对式子 的化简。五、考点例析考点1：算术平方根例1（05南京）9的算术平方根是（ ）A
4、-3 B. 3 C. D.81分析:因为9的平方根是,所以9的算术平方根是9的正的平方根3,故选B.考点2: 最简二次根式例2 (05哈尔滨市) 在下列根式中,最简二次根式的个数为( ) A4个 B. 3 个 C. 2个 D.1个分析: 是最简二次根式, 中有因式可以开出,中有因数可以开出，所以不是最简二次根式.故选C.考点3: 同类二次根式例3 (05北京市) 下列根式中,能与合并的是( )A B. C. D.分析: 能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次根式, 应先化为最简二次根式,=; ;.所以与是同类二次根式的是,故选B.例4 (05青海省)若最简二次根式与的被开方
5、数相同,则的值为( )A B. C. D.分析: 最简二次根式与的被开方数相同;即,解得. 故选C.考点4: 二次根式的运算例5 (06山东省东营市) 下列计算正确的是 ( )A B. C. D.分析: 由二次根式的性质和运算法则的. 而B选项中明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C选项用平方差公式即可得45 =1; D选项丢了=-1这一项.故选A.例6 （05江西省）化简得( )A-2 B. C. 2 D.分析:由二次根式的性质和运算法则得,.故选A.考点5:分母有理化化简例7 （06北京市）计算 分析：原式=.考点6: 运用二次根式的性质化简例8（06江西省）已知 例9 （
6、05绍兴）化简得（ ） A2 B. C. 2 D.分析:由,所以=,故应选A.考点7：二次根式成立的条件例10 （06山西省课该实验区）代数式有意义时，字母的取值范围（） A B. C. D.分析:由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以即故选A考点8：估算二次根式例11 （06沈阳课改）估算的值为( )A在5和6之间 B. 在6和7之间 C. 在7和8之间 D.在8和9之间.分析：因为即，所以.故选C.栏目名：重难点剖析二次根式的“五重点”“三难点”详解一、 五大重点一一攻克1 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。例1判断下列式子哪些是二次根式 （1） （2）； （3）； （4）
7、； （5）剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2，被开方数整体是否为非负数解：（1） 被开方数-13是负数，不是二次根式。 （2） 根指数是3 ， 不是二次根式。 （3）被开方数90 是二次根式。(4) 可取正数、负数、0； 可取正数、负数、0。 即当时，是二次根式；当时，不是二次根式。 （5） ， ，即当时，是二次根式；当时，不是二次根式。2二次根式的两个重要性质的理解和运用（1）()2=a (a0)；（2） ；例2 化简（1） （2） 剖析： ()2=a (a0)的运用主要看被开方数整体是否为非负数。（1） 中无论取何实数恒为正数，故=；运用 要
8、特别关注的正负性。（2）中由得，所以=2=。3.最简二次根式的概念的运用例3 在二次根式，中，最简二次根式有（ ）个 A. 1 B. 2C. 3D. 4剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式例3中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故都不是最简二次根式；中被开方数含分母3，故不是最简二次根式。故选B。4.运用二次根式乘除法法则计算或化简例4 化简:解:原式=例5计算： 解:原式= = 。 点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意
9、整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。5. 二次根式加减法法则的运用例6 计算解:原式=点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。二、三大难点各个击破1二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。例1 已知求的取值范围？剖析：二次根式中的取值范围为，从而。解： 而即又的取值范围是。例2 数a、b在数轴上的位置如图所示， 化简：.由图可知：；=2逆用二次根式乘除法法则进行化简例3 计算或化简（1）； （2）（）解：（1）=（2）=（）.3.灵活运用二次根式加减乘除混合运算化简求值例4 已知求的值.解:由题可知=点拨:观察发现
10、已知条件是一对相反数,而所求式子是这两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式简化求值.栏目名：错题集解二次根式常见错误分类解析一、审题不清导致错误例1 的平方根是_ . 错解： 的平方根是4. 诊断：错把的平方根当成16的平方根。正解：二、化简不彻底，结果不是最简二次根式例2 化简. 错解：原式诊断：化简二次根式的结果一定是最简二次根式，。正解：原式或原式三、分母有理化时，所乘有理化因式可能为0而导致错误例3化简 错解：.诊断：题中只隐含即0，0，所以与有可能相等。 故应分两种情况。正解：（1）当时，原式=0； （2）当时， 四、漏掉括号导致错误例4 分母有理化
11、错解：原式.诊断:当一个式子与一个多项式相乘时,多项式应注意添括号.正解: 原式五、忽视中的隐含条件0 例5 化简.错解：原式诊断：忽略了 正解：由原式六、在化简时，忽视字母的具体取值而导致错误例6当时，求的值。错解：原式.诊断:由,得,则0,.正解: 原式七、连用“”号出错例7 已知中，两条直角边长分别为求斜边错解：由勾股定理，诊断：运算法则变了，还连用“=”号出错。正解：由勾股定理， 八、不管字母正负；滥用积（商）的算术平方根性质而出错例8 已知求错解：原式.诊断:由0,知同号;又0,0.正解:原式=九、运算顺序不清导致错误例9 计算 错解：原式1。诊断：忘记乘除是同一级运算，应按从左到右
12、依次计算。正解：原式。例10计算：. 错解： .诊断：，实数的加减乘除四则运算法则对于二次根式的运算仍然适用，应先算乘除，再算加减。正解：十、乱用运算律导致错误例11 计算. 错解：原式。诊断：除法没有分配律，本题应分母有理化。正解：=十一、在去括号时出错例12 计算：错解：.诊断：去括号法则对二次根式仍然适用，括号前面是负号，去括号时括号内的每一项都改变符号。正解：十二、用公式时出错例13 计算：错解：诊断：运用完全平方公式丢项出错。正解：。 综合练习题一、选择题（每小题3分,共30分）1下列各式正确的是（ ） A B. C. D. 2.下列各式中属于最简二次根式的是（ ） AB C D 3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A和 B和 C和D和4. 下列根式:;,其中最简二次根式是 ( ) A. B. C. D.5. 化简的结果是（ ）A B C D 6.的平方根是 ( ) A.13 B. C.13 D. 7.若把的根号外的适当变形后移入根号内，得（ ）A B C D 8.使等式 成立的条件是 ( )毛 A. B.5 C.3 D.3且59.若为任意实数,则下列各式的值一定为正数的是 ( ) A.+5 B. C. D. 10.已知-2+
