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1、现代数值计算方法习题答案 李继云现代数值计算方法习题答案习 题 一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此 4910-2 ： = 0.005； = 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ： = 0.00005； = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ： = 0.005； = 0.0000102；5位有效数字.2、解： = 3.1428 ， = 3.1415 ，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字. = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ； = = = 0.0004
2、1.3、解：的近似值的首位非0数字 = 1,因此有 | = 5，所以 n = 5 .4、证： 5、解：(1)因为4.4721 ，又| = | = 0.0021 0.01, 所以 4.47. (2)的近似值的首位非0数字 = 4,因此有 | = 3 .所以， 4.47.6、解：设正方形的边长为,则其面积为，由题设知的近似值为= 10 cm .记为的近似值，则 = 0.1， 所以 = 0.005 cm .7、解：因为, 所以.8、解：9、证： 由上述两式易知，结论.10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形 （1）通分；
3、（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解： 因为,所以| = 于是有 | = | = 10| =| = | = 10| = 类推有 | 0, = 2 0, = 4 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素： 因此， L . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （，）T. 第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X =（0，2，1）T. （2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 3 0, = 2 0, = 6 0,所以系数矩阵是对称
4、正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素： 因此， L . 第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （，）T . 第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X = （，）T .4、解： 对 , ； 对 , , , ；对 , , , , , . 所以数组A的形式为： 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，）T . 求解方程组DLTX = Y . 解得X = （，）T .5、解：（1）设A = LU = 计算各元素得： , , , , , , , , .求解方程组LY = d. 解得Y = （1，）T .
5、求解方程组UX = Y. 解得X = （，）T .（2）设A = LU = 计算各元素得： ， ， ， .求解方程组LY = d . 解得Y = （17，）T . 求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T .6、证：（1）（2）相同. 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯赛德尔迭代法都收敛.（1）雅可比迭代公式：高斯赛德尔迭代公式：（2）雅可比迭代公式：高斯赛德尔迭代公式：7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯赛德尔迭代法都收敛。 (2) 雅可比迭代法： 写出雅可比迭代法公式：取 = （3，1，1）
6、T，迭代到18次达到精度要求, = （3.999，2.999，1.999）T .高斯赛德尔迭代法： 写出高斯赛德尔迭代法公式：取 = （3，1，1）T，迭代到8次达到精度要求, = （4.000，2.999，2.000）T .8、SOR方法考试不考。9、证明：雅可比法的迭代矩阵为： , 解得,所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为： , 求得，则 , 所以高斯-赛德尔迭代法不收敛.10、证明：雅可比法的迭代矩阵为： , 求得，则 ,所以雅可比迭代法不收敛. 高斯-赛德尔法的迭代矩阵为： , 求得，则 , 所以高斯-赛德尔迭代法收敛.11、证明：当 - 0.5 a 0 , = (1
7、 - a)2(1 + 2a) 0 , 所以A正定. 雅可比迭代矩阵BJ ，所以， | = = 所以， , 故当-0.5 0.5 时，雅可比迭代法收敛。12、解： max 0.6+0.5,0.1+0.3 = 1.1； max 0.6+0.1,0.5+0.3 = 0.8； = 0.8426； ATA = = | = = 0.71 0.0169 0 所以 (ATA) = 0.685，所以 = 0.83.13、证明：(1)由定义知, 故 (2)由范数定义知, 故 习 题 三1、解：在区间0.3,0.4上，故在区间0.3,0.4上严格单调减少，又，所以方程在区间0.3,0.4上有唯一实根。令（0.40.
8、3）/ = 4 ,即应至少分4次,取开始计算,于是有: 当k = 1 时,x1 = 0.35 , ,隔根区间是, 当k = 2 时,x2 = 0.325 , ,隔根区间是,当k = 3 时,x3 = 0.3375 , ,隔根区间是,当k = 4 时,x4 = 0.34375 , ,隔根区间是.所以 (0.3375 + 0.34375)/2 0.341.2、解：在区间1,2上，故在区间1,2上严格单调增加，又，所以方程在区间1,2上有唯一实根.令 = 13.3 ,即应至少分14次.3、解：作图,判断根的数目、找隔根的区间. (1)有唯一实根,隔根区间0,收敛迭代公式:. (2)有唯一实根,隔根区
9、间1,2,收敛迭代公式:.4、解：取的邻域1.3,1.6来考察.(1)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,| = 0.522 = L 1,所以，在1.3,1.6上收敛.(2)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,| = 0.91 = L 1,所以， 在1.3,1.6上发散.(4)当1.3,1.6时,1.3,1.6 ,所以，在1.3,1.6上发散.取开始计算,于是有： = 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , = 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 .由于| ,故可取 = 1.466.5、解：方程的等价形式为=,迭代公式为. 作函数和的图像,可知其正根区间为0.5,1.5. 当0.5,1.5时,0.5,1.5 ,| = 0.3 = L 1,所以，在0.5,1.5上收敛.取开始计算,于是有： = 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , = 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582, = 1.04475903, = 1.0447613 , = 1.04476123.由于| ,故可取 = 1.04476.
