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1、高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章 空间几何体（一）空间几何体的构造特性（)多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体把一种平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中,这条定直线称为旋转体的轴。(2)柱，锥,台，球的构造特性 1.棱柱 .棱柱有两个面互相平行，其他各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2有关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: 四棱柱底面为平行四边形 平行六面体
2、侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面为矩形 长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方体3棱柱的性质:侧棱都相等,侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。1.4长方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一种顶点上三条棱的平方和;【如图】 （理解)长方体的一条对角线与过顶点A的三条棱所成的角分别是，那么,；（理解）长方体的一条对角线与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是,则，.15侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形构成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.6面积、体积公式:（
3、其中为底面周长，h为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其他各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形23侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形2.面积、体积公式：S；S=,=Sh=(其中r为底面半径，h为圆柱高）.棱锥.棱锥有一种面是多边形,其他各面是有一种公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥如果有一种棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相
4、似比等于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比;正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形。）（如上图：为直角三角形）3.3侧面展开图:正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形构成的。.4面积、体积公式：正棱锥侧,S正棱锥全=,V棱锥=.(其中c为底面周长，侧面斜高，h棱锥的高）4.圆锥4.1圆锥以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴,其他各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质:平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离
5、之比;轴截面是等腰三角形;如右图：如右图：4.3圆锥的侧面展开图:圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.4面积、体积公式：S圆锥侧=,圆锥全=，V圆锥=(其中r为底面半径,h为圆锥的高,为母线长).棱台5.1棱台用一种平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台52正棱台的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形; 如右图：四边形都是直角梯形棱台常常补成棱锥研究.如右图:，注意考虑相似比5.3棱台的表面积、体积公式:侧，(其中是上,下底面面积，h为棱台的高)6圆台6圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截
6、面之间的部分叫做圆台. 6.2圆台的性质:圆台的上下底面,与底面平行的截面都是圆;圆台的轴截面是等腰梯形;圆台常常补成圆锥来研究。如右图：，注意相似比的应用6.3圆台的侧面展开图是一种扇环；6.4圆台的表面积、体积公式:，V圆台，(其中r，R为上下底面半径，h为高)7.球.1球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体,简称球;7.2球的性质:球心与截面圆心的连线垂直于截面;（其中,球心到截面的距离为、球的半径为R、截面的半径为）7.3球与多面体的组合体:球与正四周体，球与长方体，球与正方体
7、等的内接与外切.注:球的有关问题转化为圆的问题解决74球面积、体积公式：(其中为球的半径)例：(福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为，则正方体的棱长为_（二)空间几何体的三视图与直观图1投影:辨别中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观测者从三个不同位置观测同一种空间几何体而画出的图形;正视图光线从几何体的前面向背面正投影,得到的投影图;侧视图光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图;注:（1)俯视图画在正视图的下方,“长度”与正视图相等;侧视图画在正视图的右边,“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图
8、。（简记为“正、侧同样高,正、俯同样长，俯、侧同样宽”. (2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。3直观图： 3.1直观图是观测着站在某一点观测一种空间几何体而画出的图形。直观图一般是在平行投影下画出的空间图形。 .斜二测法：tep1:在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy,（即取 ）；stp2:画直观图时,把它画成相应的轴，取,它们拟定的平面表达水平平面；ep:在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x轴(或在x轴上)的线段保持长度不变,平行于y轴（或在轴上）的线段长度减半。结论：一般地,采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的倍.解决两种常
9、用的题型时应注意:（1)由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“俯视图”（2)由几何体的直观图画三视图时,能看见的轮廓线和棱画成实线,不能看见的轮廓线和棱画成虚线。第二章 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1.平面无限延展,无边界1.1三个定理与三个推论公理1:如果一条直线上有两点在一种平面内,那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.图形语言： 符号语言:公理2:不共线的三点拟定一种平面.图形语言：推论：直线与直线外的一点拟定一种平面. 图形语言：推论2：两条相交直线拟定一种平面. 图形语言:推论3:两条平行直线拟定一种平面. 图形语言:用途：用于拟定平面。公理：如果两
10、个平面有一种公共点,那么它们尚有公共点,这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线）.用途:常用于证明线在面内，证明点在线上图形语言： 符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：(二)空间图形的位置关系.空间直线的位置关系：.平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述:.2等角定理：如果一种角的两边与另一种角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。.3异面直线:（1）定义：不同在任何一种平面内的两条直线异面直线; （)鉴定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内但是此点的直线是异面直线。图形语言:符号语言:14异面直线所成的角:(1）范畴：;(2）作异面直线所成
11、的角:平移法.如右图，在空间任取一点O，过O作,则所成的角为异面直线所成的角。特别地,找异面直线所成的角时,常常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.2直线与平面的位置关系:图形语言： 3平面与平面的位置关系：(三）平行关系（涉及线面平行，面面平行)1.线面平行:定义：直线与平面无公共点.鉴定定理：（线线平行线面平行)【如图】性质定理：（线面平行线线平行)【如图】鉴定或证明线面平行的根据：（i）定义法(反证)：(用于判断);（i)鉴定定理:“线线平行面面平行”（用于证明)；（ii）“面面平行线面平行”（用于证明);(4）（用于判断)；.线面斜
12、交:直线与平面所成的角(简称线面角）:若直线与平面斜交,则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】于O，则AO是A在平面内的射影， 则就是直线PA与平面所成的角。范畴：,注:若,则直线与平面所成的角为；若，则直线与平面所成的角为。.面面平行:定义:；鉴定定理:如果一种平面内的两条相交直线都平行于另一种平面,那么两个平面互相平行;符号表述： 【如下图】 图 图推论：一种平面内的两条相交直线分别平行于另一种平面的两条直线,那么这两个平面互相平行符号表述： 【如上图】鉴定2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述:.【如右图】鉴定与证明面面平行的根据：(1）定义法；()鉴定定理及推论(常
13、用）(3）鉴定面面平行的性质：(）(面面平行线面平行);(2);（面面平行线线平行）()夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如图】（四)垂直关系（涉及线面垂直，面面垂直）1线面垂直定义:若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意均有,且,则鉴定定理：（线线垂直线面垂直)性质：(1）（线面垂直线线垂直）；(2）；证明或鉴定线面垂直的根据:(1)定义（反证）；（2)鉴定定理(常用);（3)（较常用）；（4）；(5）(面面垂直线面垂直）常用;三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中,(1）斜线相等射影相等；(2）斜线越长射影
14、越长;（3）垂线段最短。【如图】；（II）三垂线定理及逆定理:已知,斜线P在平面内的射影为OA, 若,则垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理; 若,则垂直斜线垂直射影，此为三垂线定理的逆定理; 三垂线定理及逆定理的重要应用：()证明异面直线垂直；（2)作、证二面角的平面角;(3）作点到线的垂线段；【如图】3.2面面斜交二面角：（1）定义：【如图】范畴:作二面角的平面角的措施：(1)定义法;（）三垂线法（常用)；(3）垂面法3面面垂直（1)定义：若二面角的平面角为，则；(2）鉴定定理:如果一种平面通过另一种平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(线面垂直面面垂直）(）性质：若，二面角的一种平面角为，则;(面面垂直线面垂直）；. 二、立体几何常用题型归纳例讲1、概念辨析题:（1）此题型一般出目前填空题,选择题中,解题措施可采用排除法,筛选法等。(2)对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题,必须在纯熟掌握有关的定理和性质的前提下，运用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你觉
