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1、聚焦考点 直 线 和 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合 性，覆盖面大，不仅考查 “三基” 掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形 结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题 和解决问题的能力。 在近几年的高考中， 每年风格都在变换， 考查思维的敏捷性， 在探索中求创新。具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点， 如直线 被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有 关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：1研究直线与圆
2、锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方 程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量 后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方 程根的问题， 结合根与系数的关系及判别式解决问题； 二是运用数形结合， 迅速 判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。2涉及弦长问题， 利用弦长公式及韦达定理求解， 涉及弦的中点及中点弦问题， 利用差分法较为简便。3充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函 数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。热点透析题型1:直线与圆锥曲线的交点个数问题例1已知双曲线C:2x2 y2=2与点P
3、(1 , 2)(1)求过P(1 , 2)点的直线I的斜率取值范围，使I与C分别有一个交点，两个交点，没有交点(2)若Q(1 , 1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解:(1)当直线I的斜率不存在时，I的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当I的斜率存在时，设直线I的方程为y 2= k(x 1),代入C的方程，并整理得(2 k2)x2+2( k2 2k)x k2+4 k 6=0 .(*)(i )当2 k2=0,即k= 土门时，方程(*)有一个根，I与C有一个交点(ii )当2 k2工0,即k工|时 = 2(k2 2 k) 2 4(2 k2)( k2+4 k 6)=16(3 2 k)2 当 =0,即
4、3 2k=0, k时，方程(*)有一个实根，I与C有一个交点.3 当 0,即kv二，又k工土门,3故当kv 或v k / ;或小vkv二时，方程(*)有两不等实根，I与C 有两个交点.3 当时，方程(*)无解，I与C无交点.2综上知:当k= :,或k=二，或k不存在时，I与C只有一个交点；当-J k -,或v kv，或k 时，I与C没有交点.假设以Q为中点的弦存在，设为 AB，且A(xi,yi),B(X2,y2)，则 2xi2 yi2=2,2 X22 y22=2 两式相减得:2(xi X2)(xi + X2)=( yi y2)(yi + y2)又Txi + X2=2, yi + y2=2 二2
5、(xi X2)=yi yi即 kAB=丄=2但渐近线斜率为，结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即 以Q为中点的弦不存在.分析第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考 查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法 一一“点差法”.易错点提醒：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了 .技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用 “点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化热身训练1直线与双曲线宀 一的右支交于不同的两点A、B（1）求实数k的取值范围（2）是否存在实数k，使得以线段
6、AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。【解】（1）将直线I的方程y=kx+1代入双曲线C的方程后，整理 得（F-2）F +2Ai+2 = 0。依题意，直线I与双曲线C的右支交于不同的两点，故解得k的取值范围为（2）设A、B两点的坐标分别为?假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点J，则由站丄阳得：（心F（坯7）十沁=0，即 （心 Y）E Y）+（縞 + 1）（0 +1） = 0整理得，：-_，； _ -1_ / + _ 1 一_翻把式及-代入式，化简得解得或（舍去）存在- 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点。题型2 :有
7、关弦长问题? * 1_i_c_ = 3【例2】如图所示，已知椭圆-“ 与抛物线* 一 有公共焦点陀啟訪），m是它们的一个交点，若八扭，且呦（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在过F的直线I被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出 I【解】（1）=的焦点二1的方程；若不存在，说明理由。准线-:二，二 p=2c。设由，得_,由，得：一一-.$關严|。外同二+心d = 2“2 J+ _ 12 Q椭圆方程为宀一 ，抛物线方程为 (2)设直线I的方程为-,8，与 -联立，得.厂一(1十解得-c=2 。将I的方程与椭圆方程联立，得:(8 + 9环2_ 36+致H-8J = 0护-晶羽少叱-企36(8
8、+W)(P -可_ 1%8(疋+ 1由十一12 炸(P+1)8(1+A2)=上_十2&P0存在直线I，其方程为:题型3:与中点弦有关的问题【例3】已知双曲线方程（1）过M（ 1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。（2）是否存在直线I，使 :为I被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线I的方程；若不存在，请说明理由。【解】本题涉及弦的中点问题，可以选用差分法解决。设怒（也必），则I 2”，乩-乩=1则有二二4 2_得5+心）（兀宀21+”）（”）=0。.珂+也=2洌+兀=2. 2（心勺）2亡01 乃）=0若二上，由知= ，则点A、B均不在双曲线上，与题设矛盾,11
9、 0直线AB的方程为1 _，即x-2y+1=0721 J2二X丈双曲线的一条渐近线方程为.二，而二-，直线x-2y+1=0 与双曲线交于两点， x-2y+1=0 为所求。（2）假设过N的直线I交双曲线于二，则有门 ，丁a a4242两式相减，得（可+佃2仙+片）5-乃）=0依题意，-+1 -1， 1 0双曲线的一条渐近线方程为二，而二，直线I与双曲线没有公共点,以为弦中点的直线不存在题型4 :对称冋题【例4】在以0为原点的直角坐标系中，点 A （4 , -3 ）为丄工扛的直角顶点， 已知AB=2A，且点b的纵坐标大于零。（1） 求向量的坐标；（2） 求圆关于直线0B对称的圆的方程；（3） 是否
10、存在实数a,使抛物线-_，；上总有关于直线0B对称的两个点? 若不存在，理由；若存在，求a的取值范围。【说明】这是一个非常好的、综合性强的题目要认真研究解=ioo得i0=6故.OB OA + AS = (/J+,u ?). (J 3 0 u = 8-，得。jr-3故所求圆的方程为： _ (3)设二-为抛物线上关于直线0B对称的两点，则匕 _224 = o2 2 戸-必 22一一a5-2加北于是由为方程5-22/=0的两个相异实根，得可一阳(2 故当3 2-时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点【评析】对称性问题是高考的热点，一般包括点对称与直线对称，要重视此类问 题的常规解法，如本题主要考查两
11、个方面：一是中点在对称轴上；二是利用垂直 关系，通过联立方程组求解。一般情况下，对称问题都可以转化为点的对称来加 以解决。2热身训练1若抛物线八I上总存在关于直线 对称的两点，求&的范围.解法一：(对称曲线相交法)曲线 关于直线“-对称的曲线方程为.如果抛物线宀1上总存在关于直线， 对称的两点，则两曲线卩1与-g砂必有不在直线x+y =0上的两个不同的交点（如图所示），从而可由：J ” 二异-1代入宀得x + -1=0L 有两个不同的解,色二一1）_北（一宀 3 0 =! 4解法二：（对称点法）-x = ay2 -1 =尹丰 t二&(* _才)设抛物线上存在异于于直线-的交点的点_1：，且_：
12、 关于直线*“-的对称点_ _ -也在抛物线宀上.则如二叭-1-xa=a(-yof-l(2)必有两组解.用+州心= 1有解.从而有|-.-有两个不等的实数解.即：f I i+有两个不等的实数解.3 .直三一&尸一4/（一心 + 1） *0霑早0a4解法三：（点差法）设抛物线- 上以 1：-为端点的弦关于直线 对称，且以”（吗小）为中点是抛物线“幻-1 （即 ，尸）内的点.从而有从而有(+D 二 q n a. 2aA(1)-(2)得上AA =圧（珂+*2）=龙处0上有不同两点关于直线+热身训练2试确定吨的取值范围，使得椭圆:_ = up解:设椭圆- 上以u 丫 1 U 为端点的弦关于直线1-1
13、对称,2 2匸十乙“且以- 为中点是椭圆- 内的点.从而有 L-亠:弘J二 12CD由詔+4对7 2(1)-(2)得二旳_ _ %册+无)二_九 无-巧 4他+北)4兀由匚在直线，上二；_-丫； -涉十土”宀1还更从而有431313132 热身训练3已知直线过定点A(4,0)且与抛物线一 I、：交于p、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点0,求的值.得一 .设厂一、一；二一解:可设直线的方程为代入】= -8 话=牛牛=r = 162p 2p Ap由题意知，OP丄OQ，则-即I,-.1 J 一 .丿此时，抛物线的方程为 :.题型5 :圆锥曲线中几何量的范围问题【例5】已知常数a0，向量m= （0，a）， n= （1，0），经过定点A（ 0 ,-a）以m+入n为方向向量的直线与经过定点 B （0，a），以n+2入m为方向 向量的直线相交于点P,其中三。（1）求点P的轨迹C的方程;7s
