《【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决2曲线的形状未知求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，t=edr2=ed2。（2
2、）双曲线有两种定义。第一定义中，|厂-厂|=2a，当rir2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义12122中，red,r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一
3、些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A（xi，yi）,B（x2，y2），弦AB中点为M（x0,y0）,将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）乂+菩=1（ab0）与直线相交于A、B,设弦AB中点为M（x0,y0），则有订+卜k=0。（其a2b200a2b2中K是直线AB的斜率）乂-学=1（a0,b0）与直线1相交于A、B,设弦AB中点为M（x0,y0）则有九-轧k=0（其a2b200a2b2中K是
4、直线AB的斜率）（3）y2=2px（p0）与直线1相交于A、B设弦AB中点为M（x0，y0）,则有2yk=2p，即yk=p.（其中K是直线AB的斜率）4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y二kx+b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2+bx+c=0的方程，方程的两根设为x，x，判别式,则ABIABI1+k2IxxI二V1+k2匚，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。ABIaI5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式
5、子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如*+y2”，令Jx2+y2=d，y-3y-3则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如，令二=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）x+2x+2这两点连线的斜率6、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P,常设P（t,0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（,）外，也可直接设P(2y1-1,y1)(2)斜率为参数当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直
6、线为y-y0=k(x-x0),即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3) 角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件pi5p2求(或求证)目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件卩，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4a/2)与到准线的距
7、离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,l)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。分析：(1)A在抛物线外，如图，连PF,则|PH|=|PF|，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2)B在抛物线内，如图，作QR丄1交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：(1)(2,迈)连PF,当A、P、F三点共线时，|Ap+|PH|=|AP|+|PF|最小，此时AF的方程为y=工20(x-1)即y=2j2(x-1),代入y2=4x得P(2,2j2),(注：另一交点为(斗,一迈)，它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)1(2)(丁,1)4过Q作QR丄1交于
8、R,当B、Q、R三点共线时，|bQ+qf=bQ+QR最小，此时Q点的纵坐标为1,11代入y2=4x得x=4，:Q(&点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。x2y2例2、F是椭圆才+=1的右焦点，A(l,l)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。(1) PA+pF的最小值为(2) |PA|+2|PF|的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：(1)4-*：5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PF|PA|+pF二|PA|+2a-|PFI二2a-(|PF|PA|)2a-|AF|二4-込当P是FA的延长线与椭圆的
9、交点时，|PA|+|PF|取得最小值为4-订5。1(2)作出右准线1,作PH丄1交于H,因a2=4，b2=3,c2=1,a=2，c=1，e=，2.|PF|二g|PHI，即2|PF|二|PH|.|PA|+2|PF=|PA|+|PH|a2当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为x=41=3cA例3、动圆M与圆C：(x+1)2+y2=36内切，与圆C2：(x-1)2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”两个圆心与切点这三点共线(如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图中的MC=|MD|)。解：如图，|mc|=md，
10、AC|-|MA|=MB-|DB|即6-|MA|=|MB|-2.|MA|+|MB|=8(*)x2y2点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15轨迹方程为+=11615点评：得到方程(*)后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5sinA，求点A的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R(R为外接圆半径)，可转化为边长的关系。33解：sinC-sinB=
11、5sinA2RsinC-2RsinB=52RsinA3.|ab|-|ac|二5|bc|即|AB|AC|=6(*).点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）V2a=6,2c=10.a=3，c=5，b=4x2y2所求轨迹方程为石-一1（x3）916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A（X,X2）,B（x2,X22），又设AB中点为M（x0y0）用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。2）M到x轴的
12、距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A（x1，x12），B（x2，x22），AB中点M（x0，y0）(XX)2+(x2x2)2=91212込,即Mm+42，|MMJ4,当AB经过焦点F时取得最小值。M到x轴的最短距离为4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi，x2,从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的
13、，但此解法中有缺点，即没有验证B是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】x2y2例6、已知椭圆一+=1(2m5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次mm-1交于A、B、C、D、设f(m)=|AB|CD|,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防f(m)=(xx)V2(xBADCx)(xBADC此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。X2y2解：(1)椭圆H=1中，a2=m,b2=m-l,c2=1,左焦点F1(-1,0)mm11则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=02m设B(x1，y1),C(x2，y2),X+x2=-(2m5)f(m)=|AB|CD|=J2|(x-x)-(x-X)|+X)(X2A+x)|=|x+x|=亡22m2m1f(m)=迈也土1=巨(1+丄)2m12m1当m=5时,f(m)minio当m=2时,f
