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1、具体如下：取上的向量场，对给定的有，于是为关于的齐次线性函数，有对和 有下面设（即1-形式），为上的向量场。其中是的置换群，即是的逆序数。一般地，设精选文档并且，设和分别为上的形式和形式，则设是上处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为和。设上的形式在这两个局部坐标系中分别表示为则有坐标变换公式：三、外微分对流形上的0-形式（即函数），由函数的微分，有精选文档为上的1-形式，上式表明，是到的映射。下面将推广为到的映射。定义：设为流形上含的坐标邻域，局部坐标为。如果上的形式在中写成则定义外微分如下：性质： 对有精选文档 对有 即都有 当时，对必有例 考虑，取它的直角坐标系则上所有微分形式为形式：形
2、式：形式：形式：分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题定义： 设是维微分流形，。如果精选文档则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在使得则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有定理（引理） 设是上的形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（引理的逆命题）设开集可收缩为一点，是上的形式，若是闭的，则是恰当的。对偶映射定义：设分别为维和维微分流形，是映射。定义映射使得对任何有其中即，是的微分。称为映射的对偶映射。性质： 是线性的，即对，有精选文档 对有 ，即对有 若 是的，则局部地，设和分别为和上包含和的坐标图，局部坐标分别为和。如果设则5.8 流形上的积分一、 体积元与可定向流形精选文档设 是的一个
3、直角坐标系为方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取的一个形式：显然它给出以为边构成的维正立方体。一般地，若是的任一个有序基，则于是可将之视为以为边的平行多面体的“有向体积”。若则称基底与标准基的“定向相同（相反）”。称为的标准体积元。如上，取（如图示）精选文档一般地，在维实向量空间上任取两组基及，它们的关系为或定义等价关系：这样就可将的所有有序基分为两个类，称之为的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如 中，代表的右手系习惯称为正定向，而代表的左手系为反定向。又如中确定它的一个标准定向流形的定向。定义：设是维微分流形，是的一个图集。若该图集能确定的切空间的定向
4、，则称是可定向的。精选文档可定向处雅可比行列式并非所有的流形都可定向，如带。定义：设是上的一个-形式，若对，都有，则称为流形的一个体形式（体积元）。可以证明：可定向上有一个体积元。设点处局部坐标系，则有自然基，若对都有则确定了流形的正向，否则反向。定义：设，是两个已定向的维微分流形，其定向分别由和确定，为映射。若微分形式与的定向相同，则称是保定向的；否则称是反定向的。命题：设映射流形和精选文档分别由-形式和所定向，则保定向流形上的积分首先考虑中开集，为的整体坐标系。取切空间的基确定的正方向，于是成为一定向流形。设为上一个可积函数，下面考虑维可定向的微分流形。设 是上的一个图册，局部坐标为，下面
5、用切空间上的自然基确定的定向。取的开覆盖的一个单位分解，即存在上的函数族，满足 对任何及，有且当时，精选文档； 对 ，仅有有限个。 对 ，。设是上的一个形式，且其支集，是一个紧子集。如果对某个有则有上可表示为定义：一般地，由于是紧致的，可选有限个邻域覆盖，即有由单位分解可知，且于是，定义：形式在已定向流形上的积分为精选文档可以证明，有如下性质：设 是已定向的维流形上的有紧支集的形式，则 若为上的体积元，它确定的正向，为上的连续实函数，则当且仅当上式取等号。 若为的不相交开集，且的定向与一致，则变量置换公式：设是已定向的维微分流形，是一个保定向的微分同胚，为上的形式，则精选文档特别地，当（为的一开子集）是一微分同胚时，则对上的可积函数有如 当时，是一同胚，则有，即即 经典的变量变换公式。 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 精选文档
