《课程设计：量子力学基本原理分析及理解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课程设计：量子力学基本原理分析及理解（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课程设计：量子力学基本原理分析理解课程设计目的：加深对量子力学基本原理理解及应用守说明量子力学中粒子的状态是用波函数描写量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动规律的 理论，它是深入了解物质的结构及其各种特性的基础，是20世纪20年代在总结 大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。量子力学的实验基础是物质的波粒二象性。德布罗意在光的波粒二象性的启 示下，根据经典质点力学同几何光学十分相似这一特点，在19231924年提出物 质波的假说：一个能量为E、动量为p的质点同时具有波动性，其波长入由动量 p确定，频率U则由能量E确定：E = hv =方h 犯p = n = nk力该
2、公式称为德布罗意公式，或德布罗意关系。自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系可知：与自由粒子联 系的波，她的频率和波矢（或波长）都不变，即它是一个平面波。但是经典力学 中关于质点运动的轨道的概念不适用于微观客体，必须放弃。因为微观客体具有 波动性，而且是一种统计意义下的波一一几率波：波在空间某处的强度只能确定 微观客体以微粒形式出现在该处的几率，而不能确定微粒在什么时刻到达什么地 方。因此，量子力学中微观客体的状态要按波的概念来描述，即用波函数描述。知道了描写微观客体的波函数后，由波函数振幅绝对值的平方，就可以得出 粒子在空间任意一点出现的几率。因此我们说波函数描写体系的量子状态（简
3、称 状态或态）。守用叠加原理分析双缝干涉实验在经典力学中，声波和光波都遵从叠加原理：两个可能的波动过程4和4线 12性叠加的结果4+力4也是一个可能的波动过程。量子力学中的叠加原理：对于 12一般情况，如果中和中是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加12中=c t + c中（c、c是复数）（1）1 12212也是这个体系的一个可能状态。态叠加原理还有下面含义：当粒子处于态中和中的线性叠加态t时，粒子121是既处在态中，又处在态中2。式（1）表示，当双缝都开着时，光子（电子）既在中，也在态中2。光子在 空间中的几率分布为：中 2 = c 中+ c 中 2 = （c*w*+ c*中*）（c 中 +
4、 c 中）112211221122=c 中 2 + c 中 2 + c*c 中*中 + cc*中中*（2）112212121212上式右边第一项是粒子穿过上狭缝出现在屏幕上P点的几率密度，第二项是 粒子穿过下狭缝出现在屏幕上P点的几率密度，第三项、第四项是和中2的十 涉项。式（1）仅表示两个态誉和中2的线性叠加，推广到更一般的情况，态甲可以表示为许多态中，中2，Wn，的线性叠加，即：中=c 中+ c 中 +.+c 中 +. 二&中（3）1122n nn nn式中，c ，c，c为复数。建立薛定谔方程自由粒子的波函数是平面波：中（尸,t） = Ae 决 -Et）（4）把式（4）对时间求偏微商，得到
5、：8中i=E中8t力把式（4）对坐标求二次偏微商，得到：82中=_ Ap2x e；（PxX+pyy+Pzz-Et） =_ Px. W8x2方2方2同理有：史=_竺中dy 2 力 2。2平=_匚平dz 2 加将以上三式相加，得：w+学+m *2中=专中自由粒子的能量和动量之间的关系式为：E= P2（6）2式中，r是粒子的质量。比较式（4）和式（5）两式，我们得到自由粒子的 波函数所满足的微分方程:合中 力2访=V2中（7）dt2r它满足前面所述的条件。式（4）和式（5）两式可改写成如下形式：dEW顷一中（8）dt（9）（p. p）中=（访 V ）.（访 V ）中式中，V是劈形算符:iW 1 dx
6、 dy dz由（8）和（9）可以看出，粒子能量E和动量p各与下列作用在波函数上的 算符相当：dE i 力一，p ihVdt（10）这两个算符依次为能量算符和动量算符。设粒子在力场中的势能为U（r）。在这种情况下，粒子的能量和动量关系式为:E = E! + U （r）2r上式两边乘以波函数中（r，t），并以式（10）代入，便得到中（r，t）所满足的微分方程:W 力2访=V 2中+ U （r ）中 dt2（12）这个方程称为薛定谔波动方程或薛定谔方程，也常见称为波动方程。把它推广到多粒子的情况，得到多粒子体系的薛定谔方程：QW N 方 2访一=支-史V.2中 + U（r,，r ,t）中i=1i（1
7、3）证明动量算符是线性厄密算符线性性设w和w是任意两个波函数，且有1p w =甲，p W =甲（14）态叠加原理可知，对于W=cW + c W （c、c是复数），则有1 12 21pw = p（Cw + c w）= C pw + c pw = c甲 + c 甲1 12 211221 12 2（15）因此，注的线性性得证。厄密性由式（10）我们可以得出在三维情况下动量算符p = i力 V要证明该算符的厄密性，即w*刀平击=j（pw）*平赤一、，,_.工 8，为简单起见，这里只考虑一维情况即p =i 的厄密性xoxf (p w )*dx = i方 J 叩 dxxOx=访w *l上限一访Jw *竺d
8、x|下限Ox=i力w 叩 上限+ Jw * （i力 迎）dx下限Ox=法w叩上限+Jw*pdx 下限就束缚态而言，当尤T8时，V （X）和中（X）都趋于零，所以j （pV）*平击=IV*P中&（16）即厄密性得证。综上，动量算符a是线性厄密算符。分析本征函数的性质厄密算符的本征函数具有正交性、归一性和完备性。正交归一性属于不同本证值的两个本征函数相互正交，这种性质，是厄密算符的本征函 数所共有的。下面我们证明这个定理。设81,巾2，.,七，是厄密算符f的本征函数，它们所属的本征值人，人，,人，都不想等，我们要证明当k丰i时，有：12n“加严=0（17）证明如下：已知：F8 =人8k k k（1
9、8）F8 =gl l l（19）且当k丰l时：孔（20）因为F是厄密算符，它的本征值都是实数，即，所以式（18）的共轭复式可写为：（Fk ）* =妙（21）以8右乘上式两边，并对变量的整个区域积分，得：lj （F8 ）*8 di = M 8 *8 di以4 *左乘式（19）两边，并对变量的整个区域积分，得: kJ4 *(F4)赤=人 Je *8 赤（23）由厄密算符定义式有：丁4（ F4& = J（ F4k ）*4 赤即式（22）和式（23）两等式的左边相等，因而该两等式的右边也相等:人J4 *4赤=人J4 *4赤k k ll k l(24)（x 人）4*4&= o由式（20）有:人一人N 0
10、所以式（24）给出：“*e 严=o无论F的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。在F的本征值Xk组成分立谱的情况下，假定本征函数4k已归一化：Je *4 & = 1（25）则式（17）和式（25）两式可以合并为J 4 *4 & = &（26）在F的本征值Xk组成连续谱的情况下，假定本征函数4k已归一化，则：J4 *4 ,dT =8 （X -X）入x（27）满足条件式（26）或式（27）的函数系，称为正交归一系。完备性如果F是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一本征函数是4（x），对应 的本征值是孔，使任一函数w （x）可以按4（x）展开为级数：W （x） = Z c 4 （x）式中
11、，cn与x无关。本征函数七(x)的这种性质称为完全性，或者说七(x)组归一性得出:成完备系。关于叠加系数，可将上式左右两边左乘r，然后同去积分再由正交j *(x)W (x)dx = & j 听 dx = c 6 = cn m nn mn mnn(29)即：c =jQ*( x )w (x )dx(30)总结量子力学是反映微观粒子(分子、原子、原子核、基本粒子等)运动规律的 理论，它是深入了解物质的结构及其各种特性的基础是是20世纪20年代在总结 大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。在经典力学中，一个质点的运动 状态是由它的空间坐标r随时间的变化描述的，但经典力学中关于质点运动的轨 道概念不适用于微观客体，必须要放弃。在量子力学中，不可能同时用粒子坐标 和动量的确定值来描述粒子的量子状态，因为粒子具有波粒二象性，粒子的坐标 和动量不可能同时具有确定值。量子力学波函数是一种几率波，在空间某一点的 强度与在该点找到粒子的几率成正比。量子力学中的力学量对应的算符必须满足：算符是线性的，在任何状态下， 算符所代表的力学量的平均值为实数。代替力学量的算符必须是厄密算符。厄密 算符的本征值和本征函数具有以下特征：1. 本征值必是实数。2. 分属于不同本证值的本征函数正交。3. 本征函数的全体构成一个完备函数系。
