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1、向量法解圆锥曲线中的最值、定值问题的假设干范例而?莎江西省高安市石脑二中 王典辉 （330818）sin ZMQN2smZMQNW 入 cos ZMQN，入三1 I QM丨| Q N I cosZMQN= + Q M q N圆锥曲线中的最值、定值问题是高考中的热点题型，而以向量为载体的圆锥曲线中 的最值、定值问题又是最近几年来高考中显现的新题型。由于这种题型在解题之前不明 白最值、定值的结果，因此对解题增加了必然难度。但利用向量集数与形于一身，既有 代数的抽象性，又有几何的直观性这一特点，能有效地探讨到结果。本文通过具体的例 子来讲明用向量方式对这种问题的求解。一、最值问题例 1已知点 A（0
2、， 1 ）， B（0，1）， P 为一个动点，且直线 PA、PB 的斜率之积为-1。求动点 P 的轨迹 C 的方程；设 M （x1，y1），N （x2，y2），那么有 入三 2 （ x1 - 2 ） （ x2 2 ） + y1y2l1 2 XX2 2 （ x1 + x2） + 4 + y1y2因为NM不垂直于x轴时，现在MN的方程可写成y = k （ x + 1 ），别离用两种方式 代入 x2 + 2y2 = 2，别离得(1 + 2k2)x2 + 4k2x + 2k2 2 = 0 和(1 + 2k2) y2 - 2ky - k2 = 0由韦达定理入三2代入得(2 k 2 2+8 k 2 8 k
3、 +4)1+2 k2（设Q （2,0）,过点（一1,0）的直线l交C于M、N两点，的面积记为S,对知足条件的任意直线l,不等式SW入tanZMQN成立，求入最小值。解：如图 1,设 P （x, y）, kpA=-7， k 上1 由kk 一丄一 4 一丄 kPB_ X ，由 kPA kPB 2 x2 2 卷 +y2-1。要由不等式SW入tanZMQN，求入最小 值一时难以分析清几个量之间的内在联系，于是先从特殊情形进行分析。当MN丄轴时，由上述椭圆方程知，点（一1,0）即为左核心F。现在 I F1Q I3，又因为 x 1 时，y= 于，因此 I NM I *2，Sqmn 2 - 又因为 tanZ
4、NQF1F，tanZNQNtan2ZNQF1詈筒訐一晋。由 S W入tanZMQN得入三乎。现在易猜想，当NM不垂直于x轴时，该结论或许还成立。可考虑在一样情形下转化的方式，先对关系式SW入tanZMQN利用向量进行分析。由三角形面积公式，得17 k 2 + 2、_ 1 (1+2 k 2 ) 217( k2+1)17+22 22( k 2+1)21713 一 174 - 4(2k2+1) V 417因此入T 当MN丄x轴时,.17入 min 4。a 2例2. （09。陕西理）已知双曲线C的方程为 ，极点到渐近线的距离为。求双曲线 C 的方程；壬1 （a0，b0），离心率 e如图2, P是双曲线
5、C上一点，A、B两点在双曲线C的两条渐近线上，且别离位于第一、二象限。假设AP入PB,入e|, 2。解：（1）由题意知，双曲线C的极点（0, a）2；,_5abab到渐进线的距离为宁，即示示T 2汙与予乎及a2+b2 c2联立解得a = 2, y2b=1。因此双曲线的方程为亍-X2=1。把AAOB的面积表示成某个变量的函数，求AAOB面积的取值范围。兀由于C的两条渐近线方程为y=2x,故可设ZA0B=2 9 ,那么tan( y - 9 )=2, tan 9 =+ =sin2 =寺。设 P ( xQ, y0), A ( m, 2n ), B (-n, 2n ), ( m 0 , n 0 )由 A
6、P=( xQ - m, y0 - 2m)二入西=入(-n - xQ, 2n - y0)得x0-m =入(-n - x0)y0- 2m=入(2n-y0)m-Xn2(m+Xz?) 一 m-Xn 2(m+Xz?)一 y2有x二F，y=。因此P(F， ux )。将P点坐标代入4 -x2厂 2(m+Xn)m-Xn十(1+九)2=1= 4 1+X 2-( 1+X )2 = 1 得 mn =4九又 10AI=V5m, IOBI=V5n,因此 SaA0B= j I0AI IOBIsin2 0丄 iT 4 c1+入 2+2 入=2 * -x/5 m O,那么k2-l0,从而OAOB2o当1 k2=0,即1=1时
7、，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点， 这与已知矛盾。综上，当AE丄X轴0t, 0A 云着取得最小值2。评注：最值问题常与函数和不等式联系，有时也能够依照圆锥曲线某量的有界性取 得相关的不等式。在这进程中应用向量的相关概念，成立目标函数解析式，从而求出特 定问题的最值。二、定值问题例4. 2020.天津三(20)已知椭圆虫+ 77 =1 (ab0)的离心率e=琴,连a1 b2/结椭圆的四个极点取得的菱形的面积为4。求椭圆的方程；设直线1与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标坐标为(-a, 0)点Q(0, y )0 在线段AB的垂直平分线上，QAQB=4,求y的值。_ 0c J
8、q解：由e=万=丁，得3a2 = 4c2,再由印-b?二C2,得a二2b。因此椭圆的方 程为：以+ y = lo4 2由可知A (-2, 0),设B(x ,y),直线1的斜率为k,那么直线1的方程为y=k (x+2) oy (x + 2)于是A、B两点的坐标知足方程组4 ,消去y并整理得/+尸=11 4(1 + 4k2 ) X2 + 16k2x + (16k2 -4)=016242弘2由-2x= 1+4以，侍 x= m2 ，设线段AB的中点为M,那么M(-琵，既) 当k=0时，点B的坐标为(2, 0),线段AB的垂直平分线为y轴，于是就(-2, -y ),0QB =(2, -y )。由 QA
9、QB = 4,得 y = 土2 J2。 0 01+4炉一 当kHO时，线段AB的垂直平分线的方程为y-=-i(x+黑7)。y ),得 QA QE 二 _2X - y0(y1 y0)设 x=o,解得 y0=- 由(-2, -y ), QB= (x , y 0 1 1 0 162 4 6k ( 4k 6k =1+42+ !+4k2( l+42 =j+4k2整理得7k2 = 2,故k二土因此y二土岑即y二2庞或y二土卑/oJooQ例5. (05.全国卷理三)已知椭圆中心为坐标原点，核心在x轴上，斜率为1的直线过椭圆右核心交椭圆于A、B两点，OA+OB与(3, 1)共线。求离心率;设M为椭圆上一点，且
10、芯入OA+uOB(入，u eR)o求证：入2+口2为定值。代入bxz + azy = &2匕2,得c解：如图3,设A(x,y),B(x,y),椭圆方程为営 Rl, AB的方程为y = x-c再用x = y + c代入椭圆方程，可得(az + b2)X2 - 2ca2x + 皿2 趾2 二 0(az+bz) y2 + 2cb2y + b?C2 - azbz = 0(IK，于是0A + 0B = 因为飞节a =(3, T)共线， 以-哼二罟J因此e二半。u (x2, y2)=(入 X,入证明：设 0M = (x, y),那么(x , y)=入 OA+ u OB =入(xyj+ (心+%)2 二 1
11、八b2=1y+ 口仪2，口2)=( u xi+ u x2，y yi+y y2)因为M(x, y)在椭圆上，因此心吋a2二入 2 (岸+ ) + P 2 (电+ 4) +2 入 a2 b2a2 b2S*A(x, y),B(x, y)在椭圆上，因此亍+討f+fa2(c2b2、 2c2(a2+b2)a2+b2因此b2 (c2q2 )沪+夕、3.O 因为 02二 2 C2, b2 = a2 - C2 =3,2+ )2 = 2c2 二2c2 1 (3,2 + b2) = 0,于是入 2+ J4 2 = 1 o 故入 2 + JJ. 2 为疋值 O例6. 2020.陕西理已知抛物线C： y = 2x2,直
12、线y二kx + 2交C于A、B两点, M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N。证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行。x是不是存在实数艮，使NA - NB=0,假设存在，求k的值；假设不存在，说明理由。解：如图 4,设 A(x , 2x2), B(x , 2x2) o1 1 2 2 把 y 二 kx + 2 代入 y 二 2x2得 2x2 - kx - 2 二 0。、k由韦达定理得X + X二刁，X X = -lo因此X = X1212MN1kk Ki=2(x+x2)= N，得 N( 4 ,宕)。因为 y = 2x2, 因此y二4x,那么抛物线在点N处的切线1的斜率k为 y =4X 耳二k,因此 1#ABO假设存在实数乙 NA NBO,由知NA= (x - 4 , 2x2-v),NB(x-4 , 2x2 牛)，
