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1、第1章随机事件及其概率（1）排 列组合 公式Pm-从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（m n）!需=!（m! ）!从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 n!（m _ n）!（2）加 法和乘 法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第 种方法可由m种方法完成，第一种方 法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mxn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步 骤可由n种方法来完成，则这件事可由rnKn种方法来完成。一 些常见 排列重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问
2、题随 机试验 和随机 事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不 止 个，但在进行 次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这 种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。基本事 件、样 本空间 和事件在 个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样 组事件, 它具有如下性质： 每进行 次试验，必须发生且只能发生这 组中的 个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用，来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由0中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大 写字母A B, C,表示事件，它们是
3、。的子集。0为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件; 同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然 事件。事 件的关 系与运 算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B 发生）：AUB如果同时有A=B , BA，则称事件A与事件B等价，或称A等于B: A=BA B中至少有一个发生的事件：AUB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：AB,或者AB AnB=?，则表示A与B不可能同时发 生，称
4、事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 q-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为云。它表示A不 发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C0 (B U C)=(AU B)U C分配率：(AB)U C=(AJC)A (BUC)(AUB)A C=(ACU (BC)德摩根率：启 Ai=$Ai RB = AriB，RB = AUBi 4id(7)概 率的公 理化定 义设0为样本空间，a为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A), 若满足下列三个条件：1 0 P(A) 0,则称P(A)为事件A发生条件下， 事件B发生的条件概率，记为P(B/A)- P(A)。条
5、件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(Q/B)=1 二 P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式：P(AB) = P(A)P(B/A)乘法公 式更般地，对事件A, A,A,若P(AAA1)0,则有P(A1A2 An) = P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1A2)P(An | A1A2An 1)。(14)独立性 两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) - P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立 的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相 互独立。必然事件。和不可能事件?与任何事件都相互独立
6、。?与任何事件都互斥。 多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公 式设事件B1,B2,Bn满足1 B1,B2,，Bn 两两互不相容，P(Bi) 0(i =1,2,，n),n2 A uU Bi ,则有P(A) = P(B1)P(A| B1) +P(B2)P(A| B2) + + P(Bn)P(A| Bn)。(16)贝叶斯公式设事件B1， B2，Bn及A满足1 B1，B2，,Bn两两
7、互不相容，P(Bi)0, i=1, 2,n ,n2 AuU Bi , P(A) a0 ,im则P(Bi)P(A/Bi)P(BA)= . d c二,i=1 , 2,n。Z P(Bj)P(A/Bj)j m此公式即为贝叶斯公式。P(Bi), (i“，2 ,n ),通常叫先验概率。P(Bi/A), (j=1,2 ,，n ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率 规律，并作出了“由果朔因”的推断。(17)伯努利概型我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生； n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发 生
8、与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1一 p = q ,用Pn(k) 表示n重伯努利试验中A出现k(0兰k兰n)次的概率，kk n kPn(k) =Cn p q，k =0,1,2，,n。第一章随机变量及其分布(1)离 散型随 机变量 的分布 律设离散型随机变量X的可能取值为X(k=1,2,)且取各个值 的概率，即事件(X=X)的概率为P(X=x)=pk, k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也 用分布列的形式给出：X. X1,X2/- ,Xk,P(X =Xk) P1, P2,pk, 显然分布律
9、应满足下列条件：(1) pk X0 , k =1,2,(2)Q0送 pk = 1 fk 连续型随 机变量 的分布 密度设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意 实数x，有XF (x) = f (x)dx ,则称X为连续型随机变量。f(x)称为X的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：yg O1 f(x)启 0fo-be2 *(x)dx = 1f离 散与连 续型随 机变量 的关系积分兀f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与 p(X =xk) = pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数 称
10、为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a 0 , k =0,1,2八,k!则称随机变量X服从参数为&的泊松分布，记为 x珥九)或者P(丸)。泊松分布为二项分布的极限分布(np二入，n)o超几何分 布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为 H(n ,N,M)。几何分布P(X =k) =q p,k =1,2,3,，其中 p0, q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f（X） 在a , b 上为常数,即b a-* 1-f (x) = b _a0,a x b其他，则称随机变量X在a , b上服从均匀分布
11、，记为xu（a b）。分布函数为?0, Xa,| x aX7F（x） =f （x）dx=J ba a x b当axix2b时,X落在区间（x1,x2）内的概率为 P（Xi X VX2）= x2 Jxi。指数分布F(x)二ba正态分布设随机变量X的密度函数为1Z2f(X)=_ e 中，血 cx+，J 2 兀 O其中. 0为常数，则称随机变量X服从参数为卩、坊的正态分布或高斯(GausS分布，记为X N (让2)。f(x)具有如下性质：1 f(x)的图形是关于* =二对称的；12当XI时，f()为最大值；v 2HCT若X N( = 2),为1F (x)：I Q-TTQ参数卩=0、b =1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N (0,1)，其密度函数记为4 兰，八 “X ：:,jt(t_j2X _ 2 _2e 2二 dt。J -1(X)=_分布函数为1(X厂
