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1、高中数学回归课本校本教材24（一）基础知识参数极坐标1.极坐标定义：M是平面上一点，p表示0M的长度是/ms， 则有序实数实数对（p,6）, p叫极径叫极角；一般地，沱0,2兀）, p 0 2. 常见的曲线的极坐标方程（1 ）直线过点M（p ,6）,倾斜角为a常见的等量关系: o 0正弦定理_QP_ = QM，/。=兀a+0 ZOPM=a-G ；sin NO sin ZOPM。（2）圆心PzD 0.半径为R的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理;00（3）圆锥曲线极坐标：p _ eP 当el时，方程表示双曲线；当e = l 1-COS0时，方程表示抛物线；当00;当点M在M的下方时，t0.
2、00（4）抛物线= 2px（p0）的参数方程为* 2P* 0为参数）.y = 2pf由于因此参数$的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.X t如：将参数方程|x = 2 +sin2 0（0为参数）化为普通方程为 y = sin2 0x = 2 + sin20即可，但是 0 sin2 0 1 4, 极坐标和直角坐标互化公式：；x = pcos0或p2 = x2 + y2 ，。的象限由点（x,y）所在y = P sin 0I tan 0 = y （x 丰 0）I x象限确定.（1 ）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合.（2）将点（p,0）变成直角坐标（pco
3、s0,psin0）， 也可以根据几何意义和三角函数的定义 获得。5. 极坐标的几个注意点：（1）极坐标和直角坐标转化的必要条件是具有共同的坐标原点（极点）如：已知 圆C的参数方程为=扼+：*0 （0为参数），若P是圆C与y轴正半轴的交点，以 圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆C的切线的极坐 标方程。pcos（0 -普）=2如：已知抛物线y 2 = 4 x，以焦点F为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 抛物线的极坐标方程。即p= 2 。（2）对极坐标中的极径和参数方程中的参数的几何意义认识不足如：已知椭圆的长轴长为6，焦距FF =柘，过椭圆左焦点F1作一直线，交椭圆
4、于两 点M、N，设4fm =a（0a“），当。为何值时，MN与椭圆短轴长相等口=匹或丝2 166（3）直角坐标和极坐标一般不要混合使用：如：已知某曲线的极坐标方程为p 2 - 2岳sin（0+&-2 = 0。（1）将上述曲线方程化为普通方程；（2）若点p（x, y）是该曲 4线上任意点，求x+ y的取值范围。2_2&2 +2&（二）基本计算1, 求点的极坐标：有序实数实数对（p,们，p叫极径，0叫极角；如：点M的直角坐标是（_1,指），则点的极坐标为（2匆）提示：（2,2心当,k e Z都是点M的极坐标. 332. 求曲线轨迹的方程步骤：（1）建立坐标系；（2）在曲线上取一点P（p0）；（3）
5、写出等式；（4）根据p,0几何意义用p,0表示上述等式，并化简（注意：，“,0）； （5）验证。如：长为2a的线段，其端点在Ox轴和Oy轴正方向上滑动，从原点作这条线段的垂线，垂足为M，求点M的轨迹的极坐标方程（ox轴为极轴），再化 为直角坐标方程.解：设点 m 的极坐标为（p,0），则 ZOBM = ZAOM =0，且 IOA1= 2asin0，p =I OA I cos0 = 2a sin0 cos0 = a sin2 0，的轨迹的极坐标方程为p= 口sin20（0 0,y 0) .3. 求轨迹方程的常用方法：直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x, y） = 0，是求轨迹最基本
6、 的方法.待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程再由条件确定其待定系数， 代回方程代入法（相关点法或转移法）.如：从极点作圆p = 2acos0的弦，求各弦中点的轨迹 方程.解：设所求曲线上的动点M的极坐标为（p,0），圆p = 2acos0上的动点的极坐标为 （p ,0 ）由题设可知，；0广0，将其代入圆的方程得：p= a cos0 （一知0产）.定义法：如果能够确定动点轨迹满足某已知曲线定义，则可由曲线定义直 接写出方程.交轨法(参数法):当动点F(w)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关 动点可用时，可考虑将X、y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去 参数得普通方程.4.
7、参数和极径的几何意义的运用：p表示0M的长度；T几何意义是有向线段 的数量；如：已知过点尸(9而的直线Z与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A B两点， 则AB最小值为8正提示：设.x = 9 + rcosoc倾斜角为a，则AB = t _t或ABf| + u|,y = B + lsina121297? fill9、 9siia 一占cosx9sinm一寸3co$(x 今、八t =,t = ， 人/(a) = + ，Z(a)=+ = /(a)=0，1 cos a 2 sincecosa sinacosasin acos asm atan3 a所以，tana =,a=150，/(a) =/(150)
8、 = -+ 由=8由注意:本题可以9(v3)3V3血11cosl50 sin 150oo取倾斜角的补角为a如 过抛物线2 r的焦点尸作倾斜角为匹的直线，交抛物线于心5=&r4两点，求线段的长度.解：对此抛物线有_ _4,所以抛物线的极坐标方程为/izje l p qp=，瓦g两点的极坐标分别为匹和匝，m=/(lco皿4)=4(2+)，I砰顼(1cos5T4)=4(2我疽1 cos。44AB =FA + FB= 16线段的长度为16-5 .参数方程的应用一求最值：如：已知点巧)是圆x2 + v2_2 的动点，(1)求2尤 rx y)人z十j72 乙J7乙人十y的取值范围；(2)若恒成立，求实数.
9、的取值范围。+&】.(2)/V I y I ex- jL ，。 II x jfx + y + a = cos0 + sin0 +l + a0-2-l,+oo) *如：在椭圆生旦_上找一点，使这一点到直线 十 一116 12椭圆的参数方程为4cos 0 一 4sin 0-12x = 4cos 0,y = 2*3sm 0寸5cs（6+% = l，即。二剪时，d K，此时所求点为（2,_3）33 mm 5x 2v 12 0的距离的最小值解：设 x zy iz u=J|cos0 -3sin0 -s| =455C.选修4 - 4参数方程与极坐标已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴
10、重合。若曲线的方程为p2 = 8p sin0 -15，曲线C2的方程为=2眼S以，（以为参数）。I y = 42 sin 以（1）将的方程化为直角坐标方程;（2）若。2上的点Q对应的参数为a=，P为上的动点，求PQ的最小值。提示：(1) X 2 + y 2 -8 y +15 = 0 -（2）当 a=竺时，得 Q（-2,1），4岳-1 -点Q到的圆心的距离为应,所以PQ的最小值为在极坐标系中，求经过三点0（0, 0）, A（2, G, B（2克,2买）的圆的极坐标方程.4解：设P（p,0）是所求圆上的任意一点，则p =彼cos（0-当，4故所求的圆的极坐标方程为 p = 2t2 cos(0 -
11、j) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线l的 极坐标方程为psin（0 -彳）=3巨.（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；（2）已知P为椭圆C :义+ y2 = 1上一点（已知曲线C的参数方程为JX = 4cos口，（口为参数），）169I y = 3sin a求P到直线l的距离的最大值.解：（1）直线I的极坐标方程psin。-j = 3拒，则fpsin。-pcos0=3克，即psin0-pcos0=6，所以直线I的直角坐标方程为6 = 0；（2） P 为椭圆 c：S + 3 = i 上一点，设 P（4cosa,3sina）,其中八0,2冗），则
12、 P 到直线 I 的距离Mcosa-3sina + 6l5cos0+（p） + 6l 其中 =4 石 一 M5所以当cos（ot+（p） = l时，d的最大值为在极坐标系中，圆c的方程为p = 2扼sin（0+与，以极点为坐标原点，极轴为X轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线/的参数方程为（G为参数），判断直线/和圆c的 y = 1 + 2t位置关系.解：消去参数得直线/的直角坐标方程为J = 2x + 1 ； p=2扼（sinO+j）即p = 2（sin0+cos0），两边同乘以p得p2 = 2（psine + pcos0）,得G）c的直角坐标方程为：3-1）2+3-1）2=2，圆心C到直线Z
13、的距离d = I1 + = 2垢v 2，所以直线/和O c相交.722+125已知曲线C的极坐标方程是p_2sine,直线/的参数方程是一寸+2,（,为参数）.4（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线/与X轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求的最大值.解：（D曲线c的极坐标方程可化为p2 = 2psin0又 x2 + y2 = p2 , x =p cos0 , y = p sin9，所以曲线C的直角坐标方程为尤2+产一2y = 0（2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得y = -3（x-2）令y = 0，得x = 2，即M点的坐标为（2,0）.又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（1,0）,半径r t，则|mc|=*5所以 mN W Mc| + r =+1在极坐标系
