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1、第4讲函数的实际应用 1. 零点问题：在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程根问题2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂、指、对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)1. 函数f(x)xcos2x在区间0，2上的零点个数为_答案：5解
2、析：零点为0，.2. 某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为_答案：1 000件解析：设每次进x件费用为y，y22，当且仅当x，即x1 000时y最小3. 关于x的方程exlnx1的实数根的个数是_答案：1解析：exln x1(x0)ln x(x0)ln x(x0)，令y1ln x(x0)，y2(x0)，在同一坐标系内画出函数y1ln x和y2的大致图象，如图所示，根据图象可知两函数只有一个交点，所以方程exln x1的根的个
3、数为1.4. 某人在2011年初贷款 m万元，年利率为x，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n万元，到2014年初恰好还清，则n的值是_答案：解析：m(1x)3n(1x)2n(1x)n，n.题型一 关于函数零点问题例1 已知直线ymx(mR)与函数f(x)的图象恰有3个不同的公共点，求实数m的取值范围解：作出函数f(x)的图象，可知要使直线ymx(mR)与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要yx21(x0)与直线ymx(mR)有两个交点，即x21mx有两个不等的正根，亦即x22mx20有两个不等的正根， 解得m.已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值
4、范围是_答案：(0，1)解析：f(x)(x2)单调递减且值域为(0，1，f(x)(x1)3(x2)单调递增且值域为(，1)，f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0，1)题型二 利用基本不等式解函数应用题例2 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的净化剂浓度y(mg/m3)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为y若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(mg/m3)时，它才能起到净化空气的作用(1) 若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2
5、) 若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到0.1，参考数据：取1.4)解：(1) 因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度f(x)4y则当0x4时，由44解得x0，所以此时0x4.当4x10时，由202x4解得x8，所以此时4x8.综合得0x8，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天. (2) 设从第一次喷洒起，经x(6x10)天，浓度g(x)2a10xa(14x)a4.因为14x4，8，而1a4，所以44，8，故当且仅当14x4时，y有最小值为8a4.令8a44，解得2416a4，所以a的最小值为
6、24161.6.已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1) 写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2) 当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1) 由题意得W 即W (2) 当0x10时，W8.1xx310，则W8.1x2， 0x10， 当0x0，则W递增；当9x10时，W10时，W9898238.当且仅当2.7x，即x10取最大值38.综上，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 题型
7、三 利用导数解函数应用题例3 在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该图为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB、BC、CD由总长为6 dm的材料弯折而成，BC边的长为2t dm；曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为ycosx1，此时记门的最高点O到边BC的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t)(1) 试求函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2) 要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线？此时，最大值是多少？解：(1)
8、 对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为ycosx1，所以点D的坐标为(t，cost1)，所以点O到AD的距离为1cost.而ABDC3t，则h1(t)(3t)(1cost)tcost4.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2y，即yx2，所以点D的坐标为，所以点O到AD的距离为t2.而ABDC3t，所以h2(t)t2t3.(2) 因为h1(t)1sint0，所以h1(t)在区间上单调递减，所以当t1时，h1(t)取得最大值3cos1.又h2(t)，而1t，所以当t时，h2(t)取得最大值.因为cos1cos，所以3cos1，故采用曲线C2，且当t时，点O到BC边的距离最大，最大值为 dm.某风
9、景区在一个直径AB为100 m的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示)在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)(1) 设BAC(rad)，将绿化带总长度表示为的函数s()；(2) 试确定的值，使得绿化带总长度最大解：(1) 如图，连结BC，设圆心为O，连结CO.在直角三角形ABC中，AB100，BAC，所以AC100cos.由于BOC2BAC2，所以弧BC的长为502100.所以s()2100cos100，即s()200cos100，.(2) s()100(2sin1
10、)，令s()0，则，列表如下：s()0s()极大值所以，当时，s()取极大值，即为最大值答：当时，绿化带总长度最大题型四 函数零点的探求问题例4 已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm.(1) 求f(x)在区间t，t1上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m，使得函数(x)g(x)f(x)有三个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解：(1) f(x)x28x(x4)216.当t14，即t3时，f(x)在t，t1上单调递增，h(t)f(t1)(t1)28(t1)t26t7；当t4t1，即3t4时，h(t)f(4)16；当t4时，f(x)在t，t1上单调递减，h(t)f(t)
11、t28t.综上，h(t)(2) 函数(x)g(x)f(x)有三个零点，函数(x)g(x)f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点 (x)x28x6lnxm， (x)2x8(x0)当x(0，1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1，3)时，(x)0，(x)是减函数；当x(3，)时，(x)0，(x)是增函数当x1或x3时，(x)0， (x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315. 当x充分接近0时，(x)0，当x充分大时，(x)0， 要使(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即7m156ln3. 存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图象有且只有三个不同
12、的交点，m的取值范围为(7，156ln3) 已知函数f(x)m(x1)22x3lnx，mR.(1) 当m0时，求函数f(x)的单调增区间；(2) 当m0时，若曲线yf(x)在点P(1，1)处的切线l与曲线yf(x)有且只有一个公共点，求实数m的值解：(1) 由题意知，f(x)2x3lnx，所以f(x)2(x0)由f(x)0，得x，所以函数f(x)的单调增区间为.(2) 由f(x)mxm2，得f(1)1，所以曲线yf(x)在点P(1，1)处的切线l的方程为yx2.由题意得，关于x的方程f(x)x2有且只有一个解，即关于x的方程m(x1)2x1lnx0有且只有一个解令g(x)m(x1)2x1lnx
13、(x0)，则g(x)m(x1)1(x0) 当0m1时，由g(x)0得0x1或x，由g(x)0得1x，所以函数g(x)在(0，1)上为增函数，在上为减函数，在上为增函数又g(1)0，且当x时，g(x)，此时曲线yg(x)与x轴有两个交点故0m1不合题意 当m1时，g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数，且g(1)0，故m1符合题意 当m1时，由g(x)0得0x或x1，由g(x)0得x1，所以函数g(x)在上为增函数，在上为减函数，在(1，)上为增函数又g(1)0，且当x0时，g(x)，此时曲线yg(x)与x轴有两个交点故m1不合题意综上所述，实数m的值为1.1. (2013湖南卷)函数f(x)lnx的图象与函数g(x)x24x4的图象的交点个数为_答案：22. (2014福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元答案：160解析：设容器底长和宽分别为a、b，成本为y，因为长方形容器的容积为4 m3，高为1 m，故底面面积Sab4，y20S102(ab)2
