《COMSOL等离子体模拟应用成果分享》由会员分享，可在线阅读，更多相关《COMSOL等离子体模拟应用成果分享（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、基于Fokker-Planck方程的等离子体模拟ALI SHAJII, DANIEL SMITHMKS Instruments, 90 Industrial Way, Wilmington, MA, USA, 01887 对于各个计算组织，等离子体的 模拟一直是个极大的挑战，有很多不 同近似程度的模拟计算方法。包括完 整的动力学计算方法，流体近似方法 和关于漂移扩散方程的方法。近几年 来，有人用Fokker-Planck方程处理 等离子体中的电子，同时把离子当作 流体进行耦合计算，获得了很好的计 算结果。本章我们将介绍基于通用 Fokker-Planck方程的计算求解过程，并通过一个具体实例得
2、到电容放电过程的电子密度分布。希望通过该简单模型使 读者对等离子放电建模过程有个初步的了解。1 引言各种工业等离子体应用“过程”中都存在一个关键步骤23。历史上曾采 用各种不同方法对等离子体进行简化建模，分别对应于不同层面问题所需准确性 57。这些层面包括： 完整的动力学模型(多组分Boltzmann方程)4； 使用Monte-Carlo方法的颗粒模拟3； Fokker-Planck 近似；多尺度流动模型(也被称作漂移扩散模型)3。出于种种原因，使得 等离子体的建模和模拟 非常困难。首先，最直接 的使用多流体方程的模 型不能反应相关的等离 子体物理过程。其次，“水 动力学”系数完全取决于 研究
3、的特定问题，不能作 为纯气体或液体的常数 简单测量。最重要的一点 是，完整的动力学模型包 括Boltzmann方程，计算 求解非常困难。对于完整动力学模 型和流动模型之间的需求空白，通常采用 Fokker-Planck (FP)近似或者Monte Carlo (MC)颗粒模拟。这两种方法可以在所需计算复杂度和捕获等离子体重要物 理细节之间找到一个很好的平衡。本章的主要目的是展现用COMSOL Multiphysics求解FP方程的功能。为了 对该问题给出一个整体认识，我们把侧重点集中在一个简单的例子上。特别是在第二节我们通过一个简单的例子对 FP 方程给出一个直观描述，将它用于布朗运 动的颗粒
4、模拟。本章最主要的贡献在于介绍了如何在外部电场情况下对电子动力 学过程进行建模。最后，在第四节中对如何使用 COMSOL Multiphysics 实现该模 型给出了详细的讨论。2一维 FP 和 Langevin 方程对 FP 方程直接求导可以得到 Langevin 方程1 。考虑浸没在流体中的“布朗” 颗粒，如果颗粒足够小，会同时受到两种力。一是颗粒和流体介质间的粘性力， 它会降低平均颗粒速度。二是颗粒与流体“分子”间随机碰撞的力。该布朗颗粒 的运动控制方程如下1:o-yu+r (t)(1)其中y是阻尼系数，随机项r(t)表示颗粒与背景流体的连续碰撞。对于这个简单的例子，通常我们假设粘性力线
5、性依赖于颗粒速度。同时，根据随机近似，Langevin 力必须满足以下方程1：(r(t) = 0:：r(t)r(t);： = q (t -1 )其中q = 2y kT/m 1,;：表示整体平均，T是流体温度，k是Boltzmann常数， m是布朗颗粒的质量。同时注意到力r可以很容易的通过MATLAB函数randn (见第四节)实现。给定适当的颗粒数和初始条件后,使用 MC 方法可以很容易 的求解方程(1)。为了对颗粒在时间 t 时的速度进行精确静态测量,颗粒数通常需 要超过一百万。最简单的初始条件为u(t = 0) -u 。0总之, Langevin 方程描述了背景流体介质中布朗颗粒的运动。当
6、然,如果没 有随机力，颗粒的路径为u-u e-yt。但是由于r的存在，方程(1)对于很多颗粒算 0 出的解通常是条分布曲线,分布的宽度由 q 决定1。FP 方程为 MC 方法提供了另一种思路。包含随机力的 Langevin 方程可以等 价与以下偏微分方程：dwd(q dw )厂dw、+yw + vdtQvj 2 dv 丿(dv丿(2)初始条件和边界条件为：w(t - 0) =5 (v v ) w(v Ts) - 0(3)0其中 w 是颗粒在速度空间中的分布概率,也就是颗粒出现的概率,在无限大系 统中，速度通常表示为wdv。初始条件(3)如图1所示。求解该偏微分方程等价于对无限个颗粒进行 Mon
7、te-Carlo 模拟,以获得 t0时的概率分布函数。图2给出了两种方法的比较。MC方法针对初始条件为u - 0 0 的情况,求解了 20000 个常微分方程。这还不是强非线性阻尼力和三维空间情况下的颗粒运动，即使如此，对于这 个简单的例子，求解偏微分方程的时间和常微分方程一样。当颗粒痕迹的常微分 方程是非线性时，或者需要从FEA模拟中查询外部力的值时，MC方法的计算 时间就会变得非常大。图1初始条件w1.5一 OOL FMLAB1 5o.8 6 4 2 a ao.0. J 话OCE PLSVILABParlicte vlotity rn/sJ,j8 6 4 2 O.0O.O.ODEFEM L
8、ABPartlfila vakwity 怖屈Partjicile velsKily (msj0Particle vafoclty im闾5 4 3 2 1 ao.o.o.a图2各时间步长下Fokker-Pla nek和Mo nte Carlo方法的对比(5)dwd /小dw)f dD小dw)=D+丫w1+ Ddtdv 据呂甘-raLIo谕 ueEngl LION51.50.5Mm】 Dimontnnl ptisittnn图5概率分布Pfot of Dlcctmii denKy vs. positionaQ2.521.510.600.20 10-.1-(-0.30.4Plot of cltnct
9、r&n flux v.s positioniiiiiiiiij.：0.10.20.30.40.5 Q.c 0.70.&0.91Mm】posittnn图7平均速度Nnn DimonstnnaJ posltkin图8平行极板间电子电势随位置的分布最后，给出电子流量：=J s wv dvs y y由于质量守恒，流量在 y 方向应该保持为常数。图 7沿 y 方向的电子流量表明该 过程中质量守恒。在下一节中我们将详细给出在 COMSOL 中如何实现该模型。但是在开始之 前应该注意到，虽然以上模型不是对等离子体的完整模拟，但是通过模拟它可以 给出了很多重要的特性，即，一个更完整的模型仍然应该包括 FP 方程，但是现 在必须耦合离子动力学过程。同时，在很多情况下，FP方程都需要在二维空间 中求解。 FP 方程的速度依赖性采用相同的处理方法7。4COMSOL Multiphysics 的实现该模型用到COMSOL Multiphysics的一些高级功能。这些问题包括：速度空间的拓扑域是
