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1、微积分下册主要知识点一、第一换元积分法(凑微分法) gj(x)j(x)dx=g(u)du=F(u)+C=Fj(x)+C. 二、常用凑微分公式 积分类型换元公式a1mm-1mm2.f(x)xdx=f(x)d(x)(m0)m13.f(lnx)dx=f(lnx)d(lnx)xxxxx4.f(e)edx=f(e)de第一1xxxx5.f(a)adx=f(a)da换lna元6.f(sinx)cosxdx=f(sinx)dsinx积7.f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx分28.f(tanx)secxdx=f(tanx)dtanx法29.f(cotx)cscxdx=-f(cotx)dco
2、tx10.f(arctanx)11.f(arcsinx) 三、第二换元法 1.f(ax+b)dx=1f(ax+b)d(ax+b)(a0)u=ax+bu=xmu=lnxu=exu=axu=sinxu=cosxu=tanxu=cotxu=arctanxu=arcsinx11+x12dx=f(arctanx)d(arctanx)1-x2dx=-f(arcsinx)d(arcsinx)f(x)dx=fj(t)j(t)dt=F(t)+C=Fy(x)+C, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) b) c) a2-x2, 可令 x=asi
3、nt; x2+a2, 可令 x=atant; x2-a2, 可令 x=asect. 1当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换x=. t 四、积分表续 4.3分部积分法 分部积分公式： udv=uv-vdu (3.1) uvdx=uv-uvdx (3.2) xnsinmxenxsinmxxnemxxnarcsinmxxncosmxenxcosmxxn(lnx)xnarccosmxxnarctanmx等.分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n都是正整数). 5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 两点补充规
4、定：(a) 当a=b时, 性质1 性质2 性质3 baf(x)dx=0; (b) 当ab时, baf(x)dx=-f(x)dx. babaf(x)g(x)dx=kf(x)dx=kf(x)dx=baf(x)dxg(x)dx. abbabaf(x)dx, (k为常数). babcaf(x)dx+f(x)dx. cb性质4 1dx=dx=b-a. aab性质5 若在区间a,b上有f(x)g(x), 则推论1 若在区间a,b上f(x)0, 则 推论2 baf(x)dxg(x)dx, (ab). abbaf(x)dx0, (ab). baf(x)dx|f(x)|dxab(a0,b0,c0) (1.4)
5、abcx2y2椭圆抛物面 z= +2p2qx2y2双曲抛物面 -+=z ( p与q同号) 2p2qx2y2z2 单叶双曲面 2+2-2=1 (a0,b0,c0) abcx2y2z2 双叶双曲面 2-2+2=-1 (a0,b0,c0) abcx2y2z2二次锥面 2+2-2=0 (a0,b0,c0) abc6.2多元函数的基本概念 一、平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域 二、二元函数的概念 定义1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y)，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y)处的函数值记为f(x,y)，即z=f(x,y)，其中x，y称为自变量， z称为因变量. 点集D称为该函数的定义域，数集z|z=f(x,y),(x,y)D称为该函数
