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1、以变式构建双基模块，以变式促进有效学习以“整式的乘法”复习课为例东海学校 顾洁一、以变式构建双基模块数学知识以各种模块的形式存在着，通过变式将知识、方法、思想等双基内 容充实起来，形成一个相互关联的知识结构，这种结构就是模块这个模块是三维的：第一维是双基链，它是线性的.如“整式的乘法”这节复习课，共涉及6小节（9.7-9.12）14课时,其双基链为：幕的概念一一幕的运算一一整式乘法一一乘法公式 .第二维是变式，通过“变式”形成知识网络，把基本知识和技能所形成的链展 开成为一个平面的网状结构.如下图：双基链第三维是“数学思想方法”，通过类比、化归等各种方法把面上的双基内容 提升到数学思想方法的层
2、面去认识，形成解决问题的能力.如下图：、“整式的乘法”变式问题设计1. 幕的概念的复习与巩固填写下表:幕底数指数积的形式源问题n aana a a” a *n个a变式125变式2(1丫11 3丿变式3x变式43(a -2 )2. 幕的运算源问题(幕的运算法则)：am -a amn( m、n都是正整数)(am$=anm(m、n都是正整数)ab “ = anbn (n为正整数)变式题组：(1平 变式 1 计算： 23 53 ;(2)25 54 ;(3)46 512 ;(4)88 -.V 4丿32变式2.计算：y3 - y2 i y3变式 3.计算：-x X3 (-x23变式4.计算：a-b ，b-
3、a3. 整式乘法源问题：用多项式与多项式相乘的运算法则来化简(x 2y 23 ) - x (- y2 3 )-.(y -23 )变式1:利用两个乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，简化上式变式2:寻找多于两项的完全平方的规律，用该规律简化上式.4. 乘法公式（1）平方差公式 源问题（平方差公式）：a b a-b二a2-b2变式题组一：变式1.计算：3 a 3-a .右卡c、丄曾 3 Y23）变式 2.计算： _x+_y _x_y|.134*34j变式 3.计算：-x y -x - y .变式题组二:变式 1.计算：4m2 9n 4m2-9n .变式 2.计算：2x 3y 2x-3y 4x2
4、9y2 .变式3.用简便方法计算：9.8 10.2 .变式 4.计算：2 1 22 124 11 .（2）完全平方公式2源问题：a -ba2 二2ab b a2 b2 二2ab .变式1:已知x+y=10, xy=5，求x2 y2的值. 变式2:已知x+y=10，xy=5，求（x-y）的值.11变式3 :已知a-=3，求a2的值.aa三、变式促进有效学习1.本堂课上所涉及的变式类型及作用第一类是“概念变式问题”.变式教学：促进有效的数学学习的中国方式（顾泠沅、黄荣金、Marton）一文中指出，传统意义上的教学变式主要包括两类： 一类是属于概念的外延集合的变式，称为概念变式，其中又可以根据其在教
5、学中 的作用分为概念的标准变式和非标准变式 ；另一类是不属于概念的外延集合，但 与概念对象有某些共同的非本质属性的变式 ，称为非概念变式，其中包括用于揭 示概念对立面的反例变式.所有这些概念变式和非概念变式，我们统称为概念性变式. 概念性变式在教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解.第二类是“过程性变式问题” . 在数学教学中 ,除了概念教学外 , 还包括数学 活动经验的教学 .由于数学活动经验通常镶嵌在动态的教学过程之中 , 而静态的 概念性变式难以反映这种动态的特征 , 为此将教学变式从概念教学推广到活动经 验的教学 . 过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中 , 通过有层次的
6、推进 , 使学生分步解决问题 , 积累多种活动经验 .第三类是“水平变式与垂直变式问题” . 孙旭花、黄毅英、林智中合作的 数 学问题结构性变式的研究 将变式分为表面特征变化的水平变式和结构变化的垂 直变式 . 表面形式变化的水平变式实际上是以“重复”源问题来实现的, 也就是说, “重复”通过水平变式源问题得以发展 ,水平变式反映的是量的问题 . 数学结 构变化的垂直变式实际上是以“突破”源问题来体现的 ,也就是说 , “突破”通 过垂直变式源问题得以升华 , 而垂直变式反映的则是质的问题 . 数学问题的变式 发展是螺旋上升的 ,是一种从量变到质变的过程 .因此 ,在数学教学中要握好 “重 复
7、”的“量”和“突破”的“度”,注意“重复”和“突破”的和谐统一 ,只有这样 ,才能有助 于形成真正意义上的 “螺旋上升 ”的数学知识结构 .2. 有效教学的过程数学概念的一个基本特征是抽象性， 因此，在复习幂的概念时， 关键是允许 学生具有具体直观的经验； 但是要想深入理解概念的各个特征， 就必需通过实例 引入，让学生循序渐进地掌握各个属性， 使他们能够建立起抽象概念和感性经验 之间的联系。变式 1 是幂的概念的直观具体的变式， 加深学生对幂的概念的巩固； 变式2为学生指出分数和负数也可是底数， 变式 3出现了字母，进一步说明底数 还可以是单个字母， 当指数为 1时，可省略不写； 变式四中的底
8、数则变成了一个 代数式，通过这四个概念性变式题， 强调了幂的形式中出现的底数可以是任何有 理数和字母表示的代数式 . 此题通过类比不同变式的共同属性而突出概念的本质 属性. 由此让学生更全面的理解了幂的概念及意义 .复习幂的运算与运用， 第一组变式题，变式 1将同底数幂相乘及幂的乘方的 运算法则混合使用， 让学生分清什么时候指数该相乘 ?什么时候指数该相加 ?变式 2首项出现负号，学生不习惯，由此顺势引导学生，当底数出现负数时，该如何 处理？一般情况下， 我们习惯与将底数转化为正数； 变式3的底数是代数式， 而且是互为相反数，在上一题的基础上将学生的思维发散出去， 讨论指数的奇偶性： 当指数为
9、偶数，底数互为相反数，幕的结果相同；当指数为奇数，底数互为相反 数，幕的结果也是互为相反数这一组题，都要求学生在底数相同的前提下来解 题，然后分清指数该如何运算第二组变式题看似是对积的乘方的运用，事实上 还用到了前两个运算法则的逆运算变式1出现了指数相同，底数不同的情况， 让学生由认知冲突，碰撞出思维的火花，此题可用积的乘方的逆运算来做，变式2底数和指数都不相同了，此时，就该让学生想到同底数幕相乘的逆运算，即： 25 =24 1 =24 2，将相乘的两个因式的指数都化成 4,再利用积的乘方公式来解 答变式3出现的情况与变式2类似，可是解决问题的方法却不同，这回用到的 是幕的乘方的运算法则，即将
10、46转化为212.变式4除了处理负号之外，另外一个 任务就是寻找两个因数的共同点，此题有多种解法，引导学生可以把指数分步化 得相同再做；更快捷的是可以把底数化成都与 2有关的幕的形式来做，把88转化 f 1 平(1 ”24为2 24，把-1 I转化为卩，然后再计算就简便多了 这一组变式题就锻炼了I 4丿12丿学生综合运用幕的各个运算法则的能力复习多项式与多项式相乘时，顾及到了不同认知水平的同学.源问题是为逻 辑思维能力弱一点的学生设计的，让他们做题的同时，让全班同学都复习到了多 项式与多项式相乘的运算法则以及去括号，合并同类项等多个知识点变式1是为中等偏上思维能力的同学设计的，引导他们利用两个
11、乘法公式，即平方差公式 和完全平方公式来化简通过这类同学的板演，让学生领悟到计算多于两项的完 全平方，也可利用完全平方公式进行计算， 即把某个多项式看成一个字母， 题中 把(x+2y)看成一项，然后利用公式进行计算，对于减号后的两个三项式相乘，前 后两个因式中x和-2y这两项相同，两者的第三项 土3互为相反数，因此也可利 用平方差公式计算，先将(x-2y)组合成一项，再用平方差公式计算.至此可以帮 助学生总结出利用平方差公式计算两个三项式相乘的方法变式2是为尖子生设计的，他们在平时的学习中注意观察和积累， 他们会通过类比得出多于两项的完 全平方的规律.做到这里，全班会产生共鸣，感觉这才是最简单
12、的解法，都想跃 跃欲试，这时学生就会主动去探究这个规律总结一下这个规律，其实和二项式的完全平方公式类似，对多于二项的式进行完全平方，等于它们每项的平方和， 加上他们乘积的两倍，其中平方项的系数为1交叉项的系数为2,教师只要指导学生如何进行两两组合交叉相乘，不会重复或遗漏项即可采用一个问题多种解决方法，来构建特定经验系统的变式 一个问题多种解 决方法，也即将同一个问题的不同解决过程作为变式， 去联结各种不同的解决方 法。反映了问题解决的逻辑过程、历史过程或者心理过程，使学生的学习可循序 渐进地进行，也使学生的问题解决活动具有多个台阶或者多种途径 对于平方差公式的复习，第一组变式题的前两题是平方差
13、公式(a+b)(a-b)=a2 -b2直观的变式；循序渐进的突出了公式中的a、b可以是任意的数或代数式. 变式3属于平方差公式的非标准式，首项是一个负数，由此，让学生总结对比出 平方差公式的特征：首先是两个二项式相乘，其次这两个二项式中的一项相同， 另一项互为相反数，那么它们的积就等于这两项的平方差第二组变式题的坡度逐渐上升，变式1相乘的项中出现二次项；变式2通过两此使用公式解答，变式 3是一道运用题，需敏锐得发觉到两数间的关系，将相乘的两数变化为一个平方 差公式的形式.变式4是一道拓展题，要求学生能添加出一个式子，构造出一组 连续的平方差公式，找出题目的规律，从而化简题目。这个坡度在第一组变
14、式题 的基础上由易到难，学生解答得乐此不彼，有了思路后，都豁然开朗完全平方公式的复习，不仅局限于公式本身，更该体会到各个量之间的关系。 源问题通过完全平方公式变形，找出了两数“平方和”与“和的平方”之间的关 系；变式1通过具体的例子，变换字母，让学生在计算数字的过程中体会两者的 关系；师生从此题中再次体会两数的“平方和”与两数的“和的平方”正好相 差它们乘积的两倍。变式2由求“和的平方”变换到“差的平方”。对于新问题2 2 2x-y ，学生开始反思x-y与x+y, xy之间的关系，类比第一题探索x-y 与x y 2之间是否也有一定的联系,讨论发现两者相差4xy，在第一题的基础上 循序渐进的引导
15、学生总结出两数差的平方与两数和的平方相差它们乘积的四倍。 变式3从整式的范围拓展到整式与分式的混合运算，虽然平时的讲课过程中没有 涉及到分式的知识，但是有了第一、第二题的认知经验，乘胜追出，让学生探索 a2 丨与a -1的关系，因为 a- =a2-2 a 亠= (a2 $)-2，所以aaaa aa212 a+2.由此又回归到利用完全平方公式的变形,求各个量之间的关系.这两数可以是整式也可以是分式，从而突破前两题的表面内容，由表层结构 特征过渡到数学结构特征这一组垂直变式问题，在第一题的基础上逐步增加认知负荷， 逐步驱动高层 的数学思维，由原来的程式知识转化为策略知识，由表层学习向结构学习转化， 逐步增加输出深层结构的学习结果， 逐步增加对数学本质的深层体会，使数学学 习由起点到终点深层经历因此，在数学教学中要握好“重复”的“量”和“突 破”的“度”，注意“重复”和“突破”的和谐统一， 只有这样，才能有助于形 成真正意义上的“螺旋上升”的数学知识结构。参考文献：1张奠宙，双基模块的一般论述上海教育出版
