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1、注 意 行 为 规 范遵 守 考 场 纪 律【解答】根据基尔霍夫定律得:Lx + Rx + x = u1 113L x + Rx = x2 223Cx. + x = x321管导核字 主领审签V改写为R 11x = - x - x + u1 L 1 L 31 1 R 1x = - x + x2 L 2 L32 21 1x = x - x3 C 1 C 2，输出方程为y = x2一. （本题满分10分）请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状 态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感L的电流强度。2+ 1,所以离散系统不稳定。1 2 1(3) 由 x (k) = y(
2、k) , x (k) = x (k +1) - r(k)，可以得到1 2 1x (k +1) = x (k + 2) - r (k +1) = y (k + 2) - r (k +1)21由已知得y(k + 2) - r(k +1) = 2r(k) - 5y(k +1)- 3y(k) = 2r(k) - 5x (k +1) - 3x (k)=2r(k) -5 x (k) + r(k)-3x (k) = -3x (k) - 5x (k) - 3r(k)2 1 1 2于是有：x (k +1) = -3x (k) - 5x (k) - 3r(k)2 1 2又因为x (k +1) = x (k) +
3、r(k)12所以状态空间表达式为(4)系统矩阵为-x (k +1) 01 一x (k)j 一1=1+x (k +1)2_-3-5_x (k)2_-3_x (k)1x (k)2r(k)oG = 01 ,输出矩阵为 c = 1 0, cG = 1一3 50一3一；=0 1c1 0cG _ 0 1 _, rank Q = 2 , o能观性矩阵为Q=o系统完全能观。三. (本题满分10分)回答下列问题：(1) 简述线性系统的对偶原理；(2) 简述线性定常系统的状态稳定性与输出稳定性的相互关系；(3) r输入r输出r + 2阶线性解耦系统等效于多少个独立的单输入单输出系统？【解答】(1)若线性系统1与线
4、性系统2互为对偶,则系统1的能控性等价于系统2的能观性，系 统1的能观性等价于系统2的能控性。(2)若线性定常系统的状态稳定,则输出必稳定,反之,若线性定常系统的输出稳定,则 状态未必稳定。当且仅当线性定常系统的传递函数没有零极点对消现象时,其状态稳定 性和输出稳定性才是等价的。(3) r输入r输出r + 2阶线性解耦系统等效于r个独立的单输入单输出系统。四. (本题满分10分)fx = x - x cos x设有一个2阶非线性系统，其状态方程为1 ! = ,22,判断该系统在坐标原点I 22处的稳定性，并证明你的判断。 【解】此系统在坐标原点处不稳定。【证明】取李雅普诺夫函数 V(X) =
5、x2 + x2，显然是正定函数，此外，沿着状态轨线的导数 12为：V(x) = 2xx + 2x x1 1 2 2=2 x lx11- x cos x)+ 2 x 2 =2x2 -2xx cosx + 2x2222 1 1 2 2 2=2-x x cosx)+ 2 x 2( 12 x2 - x x cos x + x2 COS2 xJ 11 22422 丿1x2 COS2 x2 2 22 一一 cos2 x22x22五（本题满分 10 分）设某控制系统的模拟结构图如下，试判断系统的能控性、能观性和稳定性。【解答】 根据模拟结构图可得状态空间表达式=2 x 一一 x cos xI 1 2 22
6、丿显然是正定的,所以该系统在坐标原点处不稳定。x 一2 x + 3x + uJ 112x 一 x 一 uJ 21写成矩阵形式为-2 3-1 ，b_-1 0 _-1系统的特征方程为0x1_-23 -x1+-1 一x-10 _x-122det （口 一 A）九 + 2 一31 九显然系统渐近稳定。系统的能控性矩阵为Qc = % Alb =1-1-1，显然，Qc满秩，所以系统状态完全能控。c 10_cA-23_，显然，系统的能观性矩阵为Qo =Q 满秩，所以系统状态完全能观。 o六.（本题满分1 0分） 某系统的状态空间表达式为0x +-6y = o 1 x设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极点
7、均为-10。解答】设全维观测器方程为0-60 1 x +-l -j-l-1x +u +1-6 -10亠l212020x =1yl112观测器特征多项式为0-l 九11 1,11-6 -1 12-1九 + 6 +12det UI -=X2 +（6 +1 ）九 +121观测器期望特征多项式为（九 +10 ）2 =X 2 + 20 九 +100根据多项式恒等的条件得6 +1 = 20 2l = 1001l =100 解得l = 14，全维状态观测器方程为I 2-i00_i00_x +u +-200i4x =1七.（本题满分10分）-证明对于状态空间表达式的线性变换，其特征方程保持不变。【证明】设原线
8、性系统为x = Ax + BuV、y = Cx + Du其特征方程为det（I - A）= 0设线性变换为x = Tz，变换后的线性系统为z = T-i ATz + T-iBuVy = CTz + DuV *该系统的特征方程为det (sI - T-i AT )= 0写成det (sT-iT - T-iAT )= 0det T-i (sI - A)T = 0det (T-i )det (sI - A )det(T ) = 0 det (T-i )det (t)det (sI - A) = 0 det T-iT)det (sI - A) = 0 det (I)det (sI - A) = 0 d
9、et (sI - A) = 0 显然，其特征方程保持不变。毕 八.（本题满分1 0分）开环系统的结构如图所示:试用状态反馈的方法，使闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间t = 5.65秒（A = 0.02）,S超调量为p = 4.32%，其中一个闭环特征值为-5。求状态反馈控制律的数学表达式。【解答】将上述方块图该画成模拟结构图，如下:5x = x12x = -5 x + 5 x223V写成状态空间表达式为x = -x + 2u33y = x1，即闭环系统单位阶跃响应的过渡过程时间t = 5*65秒（A = 0.02），可得: 4 = 5.65=5.65 匚 u 0.707n超调量为为=e2 =
10、 432%，解得匚u.707,所以u 1。期望闭环特征多项式n3 s +3 2L (s + 5 )(s 2 + J2s + 1)2 +C +(s +f *（ s） = s 3 + 5 +设状态反馈控制律为u = b k2 k3x，代入可得闭环系统的状态方程0 10x =055x2k 2k2k -1123-s 0 0_ 0 1 0 _f (s) = det (sI - A)= det0 s 0055I0 0 s2k2k2k 1123丿闭环特征多项式为s- 10=det 0 s + 5-2k-2k12-5s 2k +13=S3 +(6 2k )s2 +(5 10k 10k )s 10k3231根据多项式恒等条件可得：6 2k = 5 + J2 = 6.41435 10k 10k = 1 + S/2 = 8.072310k =51k =0.51k = 0.1解得: k2 =0.1 ,状态反馈控制律为k = 0.2073u = k k k x = 0.5x 0.1x 0.207x123123
