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1、 1 1专题限时集训(二)解三角形问题(对应学生用书第83页)(限时：40分钟)题型1利用正、余弦定理解三角形1,2,3,4,5,6,9,10,11,13题型2与三角形有关的最值、范围问题7,8,12,14一、选择题1(20xx湖南长郡中学六模)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin 2Aasin B，且c2b，则等于()A2B3C.DA由2bsin 2Aasin B，得4bsin Acos Aasin B，由正弦定理得4sin Bsin Acos Asin Asin B，sin A0，且sin B0，cos A，由余弦定理得a2b24b2b2，a24b2，2.故选A
2、.2(20xx合肥一模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为() 【导学号：07804015】A4 B8C9D36Ccbcos Aacos B2，由cos C得sin C，再由正弦定理可得2R6，即R3，所以ABC的外接圆面积为R29，故选C.3(20xx长沙一模)ABC中，C，AB3，则ABC的周长为()A6sin3 B6sin3C2sin3D2sin3C设ABC的外接圆半径为R，则2R2，于是BC2Rsin A2sin A，AC2Rsin B2sin，于是ABC的周长为232sin3.选C.4(20xx河北武邑中
3、学期中)在ABC中，c，b1，B，则ABC的形状为()A等腰直角三角形B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形D根据余弦定理有1a233a，解得a1或a2，当a1时，三角形ABC为等腰三角形，当a2时，三角形ABC为直角三角形，故选D.5(20xx海口调研)如图23，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足若DE2，则cos A()图23A.BC.DCDE2，BDAD.BDC2A，在BCD中，由正弦定理得，cos A，故选C.6(20xx湖南十三校3月联考)在ABC中，若B60，a10，b7，则该三角形有且仅有两解；若三角形的三边的比是357，则此三角形的最
4、大角为120；若ABC为锐角三角形，且三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是x.其中正确命题的个数是()A3B2C1D0B对于，由正弦定理得sin A1，所以该三角形无解，错；对于，设三边分别为3k,5k,7k(k0)，最大角为，由余弦定理知cos ，所以120，对；对于，当x3时，设最大边所对的内角为，由题意及余弦定理知cos 0，解得3x；当0x3时，设最大边所对的内角为，则cos 0，解得x3，所以x，对故选B.7(20xx合肥二模)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C若a，则b2c2的取值范围是()A(3,6B
5、(3,5)C(5,6D5,6C由正弦定理可得，(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，又A，A.2，b2c24(sin2Bsin2C)4sin2Bsin2(AB)4sin 2Bcos 2B42sin4.ABC是锐角三角形，B，即2B，sin1，5b2c26.故选C.8(20xx南昌十校二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Asin B，b，则ABC的面积的最大值为()ABCDA根据正弦定理由sin Asin B可得ab，得a2b2c(ac)，即a2c2b2ac，故cos B，B(0，)，B.又由b，可得a2c2ac3，故a2c2ac32ac，即a
6、c3，当且仅当ac时取等号，故ac的最大值为3，这时ABC的面积取得最大值，为3sin .二、填空题9(20xx云南第一次统一检测)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果ABC的面积等于8，a5，tan B，那么_. 【导学号：07804016】在ABC中，tan B，sin B，cos B.又SABCacsin B2c8，c4，b，.10(20xx山西五校联考)如图24所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos _.图
7、241由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos 1.11(20xx福建八校最后一卷)如图25所示，在圆内接四边形ABCD中，AB6，BC3，CD4，AD5，则四边形ABCD的面积为_图256如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接四边形，所以AC180，则cos Acos C，利用余弦定理得cos A，cos C，解得BD2，所以cos C.由sin2Ccos2C1，得sin C，因为AC180，所以sin As
8、in C，S四边形ABCDSABDSBCD56346.12(20xx唐山石家庄联考)已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(BC)3sin(AC)cos C0，则tan A的最大值为_. 【导学号：07804017】因为sin(BC)3sin(AC)cos C0，所以sin(BC)3sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C3sin Bcos C，sin Ccos B4sin Bcos C易知C90，所以tan C4tan B，所以tan(AB)4tan B，所以tan Atan(AB)B(B是锐角，tan B0)，当且仅当4tan B，即tan B时取等号，所
9、以tan A的最大值为.三、解答题13(20xx湖南五市十校联考)如图26所示，已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acos Casin Cbc0.图26(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B，AD，求ABC的面积解(1)acos Casin Cbc0，由正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C，即sin Acos Csin Asin Csin(AC)sin C，又sin C0，所以化简得sin Acos A1，所以sin(A30).在ABC中，0A180，所以A3030，得A60.(2)在ABC中，因为cos B，所以sin B.
10、所以sin Csin(AB).由正弦定理得，.设a7x，c5x(x0)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcos B，即25x249x225x7x，解得x1，所以a7，c5，故SABCacsin B10.14(20xx洛阳一模)如图27，平面四边形ABDC中，CADBAD30.图27(1)若ABC75，AB10，且ACBD，求CD的长；(2)若BC10，求ACAB的取值范围. 【导学号：07804018】解(1)由已知，易得ACB45，在ABC中，BC5.因为ACBD，所以ADBCAD30，CBDACB45，在ABD中，ADB30BAD，所以DBAB10.在BCD中，CD5.(2)ACABBC10，cos 60(ABAC)21003ABAC，而ABAC，所以，解得ABAC20，故ABAC的取值范围为(10,20
