《线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6）2. 以副对角线为标准的行列式a11a12 a1n0000 0 aa1na0 0a1naa 02, n1 2 n0 a021222, n10000a aaa000n1,2n1,n1n1,na 00nnaa aan1n1n 2n, n -1nnn (n 一1)(1) 2 a a a1n 2, n1n13. 分块行列式(教材P14例10)ACA0|A I- Bnnxmnnxm0BCB1mmxnmmxnm0AnxmnB CCAnxmnB 0(1)mn |A 1 - Bnm一般化结果：mmxnmm
2、xn4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4 种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！二、低阶行列式计算 二阶、三阶行列式对角线法则 （教材 P2、 P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】1）利用行列式定义直接计算特殊行列式；2）利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3）利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数 余子式很容易计算；4）递推法或数学归纳法；5）升阶法（又称加边法）常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式00.0100.2
3、000002001例 1 （ 2001 年考研题）D =019990020000000000分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行 列式定义进行计算。解法一：定义法D = ( 1片(n-1,n-2,.,2,1,n) 2001!= ( 1)0+1+2+.+1999 +0 2001!= 2001!解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n-l,n-2,2,1行交换（这里n=2001）,即00 00200100 01000200D = (-1)2001-10199900020000000进行 2000次换行以后，变成副对角行列式。解法三：分块法2001
4、乂 (2001 1)=(-1)2001-1(-1)2 2001! = 2001!00 01000201 10=01999 00020000 00000 002001D利用分块行列式的结果可以得到000002102000(2000-1)D=2001-=2001 - (-1) 2 2000!=2001!019990020000 00解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式 例21 + a 11111 a 11D =111 + b11111 b分析：该行列式的特点是1很多，可以通过r r和r r来将行列式中的很多1 1
5、2 3 4化成 0.解：aa001100110011 a1111a11y y0a11D =ab2=1 ab00bb0011仃-：00111111 b1111 b0011 b1 100r r0 a114=3 ab=a 2b 20 0110 00b例3a 3a2ba b 2b3111111a 3a2ba b 2b3，(a 丰 0)D =222222a 3a2ba b 2b3i333333a 3a2ba b 2b3444444分析：该类行列式特点是每行a的次数递减，b的次数增加。特点与范德蒙行列 式相似，因此可以利用行列式的性质将D化成范德蒙行列式。解：D a3a3a3a3 -1234a1(i)a2
6、(窗a3a4 bb aa23bba3a3a3a3 V (b1 2 3 4 a1(f j)aa ij(2)2a1(a2(I)2a3(练a4b )a4(的a1(碁a2(2)3a3(的a4 a3a3a3a3 1234 1 ji4练习： （11-12年 IT 专业期末考试题）若实数x,y,z各不相等，则矩阵M =的行列式M二y23. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算例4Dn分析：该行列式特点是a处于主对角线，b在a后的一个位置，最后一行中b是 第一个元素， a 是最后一个元素。+ ( 1)n+1 - b解：按第一列展开：D a - (1)1+1na an1 + (1)
7、n+1 b bn1 an + (1)n+1 bn练习：（11-12年期中考试题）xy0000xy0000x00000 xyy000xDn4. 行(列)和相等的行列式 例5babbabbab分析：亥行列式的特点是主对角线上元素为a，其余位置上都是b。可将第2,3,n 列加到第 1 列上。(类似题型：教材 P12 例 8, P27 8(2)解：1bb1b b1ab1a b 0=a + (n - 1)b-1b a10 a bD = a + (n - 1)b-n=a + (n - 1)b(a - b) n t5. 箭头形(爪行)行列式 例6分析：亥类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0,其余
8、位置都为0.解此类行列式方法,是将行列式化成上三角行列式。解：分别从第2,3,.,n列提出因子2,3,，n,然后将第2,3,.,n列分别乘以-1, 再加到第 1 列上。12101301工1ii - 20012101301二 n!工(-1)ii=2注：爪形行列式非常重要，很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成 爪形行列式进行计算！练习：1)教材习题 P28: 8(6)2)11-12 年期末考试题)-23 (n 1)0a0a000000a0a0n003)11-12 年 IT 期末考试题)a11a20an10Dn1 二例7x1a1a2x2a3a3ananD 二aax a123n aaa x1
9、23n分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。解：xaa123a xx a01122D =a x0x a1133an00a2二(x a ) - (x a )(x1122nx1x a1 11x a2x a3anx an n0110100011aix a22anx an n0i1001x a i=1 i0H (x a )1+工ii ix ai=1i=1 i i6. 递推法或数学归纳法 该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15例11就是递推法的经典例 题。利用同样的方法可以计算教材P27 8(4)。7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行 列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。例 8 (教材 P28 8(6)D =n1+a1111+a211111+a(a.丰 )i分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1，因此可 以增加一
