《均匀设计方法简介》由会员分享，可在线阅读，更多相关《均匀设计方法简介（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、均匀设计方法简介在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品 收率或质量，合成出某化合物等等。怎样做试验，是大有学问的。本世纪 30 年代，费歇(R.A.Fisher)在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学 的一个分支。今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。本节着重介绍均匀设计方 法。一、试验设计对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cul3X分子筛。我们可以13X分 子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定 了微波加热功率(A)、交换时间(B)、交换液摩尔浓度(C)为三个影响因
2、素，每个因 素取五个不同值(即水平：A,，A，B,，B5，G，C5)。有两种方法最易151515想到：1全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。对上述示例，不计重复 试验，共需做5x5x5=125次试验。2多次单因素试验：依次考查各因素(考查某因素时，其它因素固定)取最佳值。容 易知道，对上示例(不计重复试验)共需做 3x5=15 次试验。该法在工程和科学试 验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。3正交设计法：利用正交表来安排试验。本世纪 60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表 格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。70 年代
3、以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、 工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。该法是目前最流行， 效果相当好的方法。正交表记为：Lqm),这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q” 表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4歹U，最多可安排m个因素。常用的二水 平正交表为 L4(23), L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有 L9(34)，L27(313)；四 水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。采用拟水平法，人们还得到一系列在 实际中很有用的混合水平正交表，例如：L (4x24)，L12(2
4、3x31)，L16(44x23)等，此处8 12 16L16(44x23)表示要做16次试验，允许最多安排四个“4”水平因素，三个“2”水平 因素。在我们的示例中，可取L25(56)。该正交表如下：表 1. L25(56)试验号一列号12345611111112122222313333341444445155555621234572234518234512924512310251234表 1. L25（56）（续）试验号一列号1234561131352412324135133352411434135215352413164142531742531418431425194425312045314
5、22151543222521543235321542454321525554321十分明显，不计重复试验总共需做52=25 次试验。观察此表，可知有如下特点：1）每个因素的水平都重复了五次试验；2）每两 个因素的水平组成了一个全面试验方案。这两个特点反映了试验点在试验范围内排 列规则整齐，人们称为“整齐可比”，另一方面，这些试验点在试验范围内散布均匀， 人们称此特点为“均匀分散”。正交设计的优点本质上来自“均匀分散，整齐可比” 这两个特点。4均匀设计法1978 年，我国七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望 每个因素的水平数要多于10，而试验次数又不超过50。为了解决这一问题，
6、我国数 学家方开泰和王元教授经过几个月的共同研究，应用数论方法，舍弃正交设计的“整 齐可比”性，创造了只考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验设计方法， 即所谓“均匀设计”，很好地解决了七机部的导弹设计问题。均匀设计可按均匀设计表及相应的使用表安排试验。所谓均匀设计表是根据 均匀设计理论得到的，类比正交设计表，记为Un（qm）, n总试验次数，q各因素的水 平数，m可能安排的因素数。例如，我们前面提到的CU13X分子筛的制备问题，就 可以用如下的从（54）表来安排。表 2. U5（54）12341123422413331424432155555由该表我们可以看到：该法有其独特的布点方式，其
7、特点有：1）每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验；2）任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点；3）均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。此点要求每个均匀设计表必须有一个附加的使用表；4) 当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。二、均匀设计表的构造均匀设计表是一个方阵。设方阵有n行m列，每一行是1, 2,，n的一个置换 (即1, 2,，n的重新排列)，表的第一行是1, 2,，n的一个子集，但不一定是 真子集。可以用好格子点法来构造符合上述定义的均匀设计表。方法如下：1. 给定试验次数n,寻找比n小的整数h,且使n和h的最大公约数为1,符合这些条件
8、的正整数组成一个向量h= (h1, h2,，h )12m例如：n=7, h= (1, 2, 3, 4, 5, 6)； n=9, h= (1, 2, 4, 5, 7, 8)2.均匀设计表的第j列由下法生成u. = ih.mod nij j这里mod n表示同余运算， 在1, n之中。ihj 可以递推生成：ju = hij ju = u+hi+1,jij ju= u+h-ni+1,jij ji = 1, 2, , n-1例如,对于 n=7, h=(1, 2, 3若叫超过n,则用它减去n的-个适当倍数，使差落若 u.+h. Wnij j若 uij+hj nij j4, 5, 6)而言,有：若 h4=
9、4,贝Iu14=4, u24= u14+ h4-n=8-7=1, u34=u24+h4=5mod nu44=u34+h4-n=9-7=2, u54=u44+h4=6, u64=u54+h4-n=10-7=3 mod n u74=u64+h4=7mod n表 3. U7(76)1234561123456224613533625144415263553164266543217777777依此类推，易得uij(i=1,，n；j=1,2,3,4,5, 6)，於是得如下:这样生成的均匀设计表特记作Un(nm)，向量h称为该均匀设计表的生成向量，有时为 强调h的作用，将Un(nm)记成Un(h)。给定n,
10、相应的h可如上述方便地求得，从而m 也即确定，故m是n的一个函数，其曾由欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n)。由数论得出下列结论：1) 当n为素数(一个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1)时, E( n-1 ) =n-1 。2) 当n为素数幕时，即n可表成n=pL, p素数，L正整数，有E (n) =n (1- + )P例, n=9,可表为 n=32于疋 E (9) =9 (1-殳)=63)若n不属于上述两种情况，n定可表为不同素数的方幕积，即n= pipl2Pls 这里P ,P，P为不同素数，l ,l，l为正整数。这时1 2 s12 s1 2 sE (n) =n (1-壬)
11、(1- + ) (1- + )p1p2ps例如，n=12，可表为n=22X 3，于是E (12) =12 (1- + ) (1- + ) =4,即 U12最多只可能有4 列。2312上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可能获得n-1歹U；非素数情形，上述表的结 构中永远不可能有n-1歹U。王元，方开泰(1981年)建议，对n-偶数情形，均匀设计表由 n+1的U表去掉最后一行来构造。例如，可将U7(76)表的最后一行去掉构造U6表如下：表 4. U6(66)12一 3456112345622461353362514441526355316426654321为和由好格子点法构造的U6表即U(66
12、)相区别，上述方法构造的U6表记为U * (66)，6 6 6 6两者关系和各自特点如下：1) 所有U*表是由U 表中划去最后一行而得nn+12) U表的最后一行全部由水平n组成，U*表的最后一行则不然nn3) 若n为偶数，U*表比U表有更多的列nn4) 若n为奇数，则U*表的列数通常少于U表nn5) U*表比U表有更好的均匀性，应优先采用U*表n n n6)若将Un或U；的元素组成一个矩阵的秩最多分别为E (n + 1) + 12三、均匀性准则和使用表的产生1、均匀性准则偏差(略)2、均匀设计使用表的产生整数同余幂法我们已经知道，产生均匀设计使用表，实际上就是从U (nm)中选出S歹U，使其
13、相应 n的均匀设计有最小的偏差。当m和S较大时，从m列中取出S列的数目有(m)之多，要比 s较这么多组点集的均匀性，工作量很大。故需有简化计算和近似求解的方法，这里介绍整数 同余幂法。令a为小于n的整数，且a， a2 (mod n)，at (mod n)互不相同,at+1=1 (mod n)， 则称a对n的次数为t。例如：21=2， 22=4， 23=3， 24=1(mod 5)则2对5的次数为3。31=3， 32=9， 33=5， 34=4， 35=1(mod 11) 则3对11的次数为4。一般若a对n的次数大于或等于S-1，且(a, n) =1，则可用( a0， a， a2， aS-1) (mod n)作为生成向量，故a称为均匀设计的生成元。在一切可能的a (最多n-1个)中去比较相应实验点的均匀性，工作量则大大减少，理 论和实践都证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性。于是，只要求得 最优的a,给定n和S
