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1、直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。 所有动物都终有一死。所有人都是动物。 所以，所有人都终有一死。 前两个命题叫做前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它 叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上：中项在前提中必须周 延（distribute）至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论是有效 的，但如果有前提为假的话结论仍可能是假。命题可以是全称的（universal）或特称的（particular），并且可以是肯定的或否定的。所以 有四种命题:A型：全称肯定的-“所有S都是P”，简写为SaP。I型：特称肯定的-“有些S
2、是P”，简写为SiP。E型：全称否定的-“没有S是P”，简写为SeP。O型：特称否定的-“有些S不是P”，简写为SoP。在下列这个三段论中: 下面讨论直言三段论的格。先识别三种不同类型的项：大项、小项和中项。作为结论中的谓 词出现的项是大项。在上述三段论中的P是大项。小项是作为结论中的主词出现的项；此间 S 是小项。通过排除法可知，中项是没有出现在结论中，却在每个前提中都出现一次的项； 此间 M 是中项。大项所在的前提叫大前提，小项所在的前提叫小前提。直言三段论的格经 由识别中项的四种可能排列而得到。格用数字来表示：第1 格 第2 格 第3 格 第4格大前提 M-P P-M M-P P-M小前
3、提 S-M S-M M-S M-S结论 S-P S-P S-P S-P四个格之间可相互转换：第 1 格：不需转换。第 2 格：对换大前提的前后两项的位置就变成第1 格， 对换小前提的前后两项的位置就变成第4 格。第 3 格：对换大前提的前后两项的位置就变成第4 格， 对换小前提的前后两项的位置就变成第1 格。第 4 格：对换大前提的前后两项的位置就变成第3 格， 对换小前提的前后两项的位置就变成第2 格。E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置， 但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成与弱于原命题的I命题。O 命题不能对换前后两项的位置。上述直言三段论的
4、正确的语气和格是AAA-1。 语气和格的组合叫做形式。 直言三段论必须包含严格的三个项，不多不少（参见四项谬论）。 如果某一前提是否定的，则结论必须是否定的（参见否定推出肯定谬论）。 两个前提不能都是否定的（参见排它前提谬论）。在结论中周延的项必须在前提中周延。（参见违法大项谬论，违法小项谬论）。 中项必须周延至少一次（参见不周延中项谬论）。不能从两个全称前提中得到特称结论（参见存在性谬论）。第1格AAA (Barbara)所有M是P.所有S是M.所有S是P.EAE (Celarent)没有M是P.所有S是MJ.没有S是P.All (Darii) 所有M是P.有些S是M.有些S是P.EIO (
5、Ferio) 没有M是P.有些S是M.有些S不是P.第2格EAE (Cesare)没有P是M.所有S是M.没有S是P.AEE (Camestres)所有P是M.没有S是M.没有S是P.EIO (Festino) 没有P是M.有些S是M.某些S不是P.AOO (Baroco)所有P是M.某些S不是M.二某些S不是P.第3格AAI(Darapti)所有M是P.所有M是S.有些S是P.(这种形式需要假定某些M确实存在。1IAI (Disamis) 有些M是P.所有M是S.有些S是P.AII (Datisi) 所有M是P.有些M是S.有些S是P.EAO (Felapton) 没有M是P.所有M是S.有
6、些S不是P.(这种形式需要假定某些 M 确实存在。 )2OAO (Bocardo)某些M不是P.所有M是S.某些S不是P.EIO (Ferison) 没有M是P.有些M是S.某些S不是P.第4格AAI (Bramantip) 所有P是M.所有M是S.有些S是P.(这种形式需要假定某些 P 确实存在)4AEE (Camenes)所有P是M.没有M是S.没有S是P.IAI (Dimaris) 有些P是M.所有M是S.二有些S是P.EAO (Fesapo) 没有P是M.所有M是S.二有些S不是P.(这种形式需要假定某些 M 确实存在)5EIO (Fresison) 没有P是M.有些M是S.有些S不是
7、P.结论弱化的论式在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I,结论E为0,它 们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是：AAI-1 （弱化的 AAA-1）, EA0-1 （弱化的 EAE-1）, EA0-2 （弱化的 EAE-2）, AE0-2 （弱化的 AEE-2）, AE0-4 （弱 化的 AEE-4）。对附加的谓词演算公式的注解按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元 关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为 何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确
8、定的有四种：A （全称肯定）命题：所有X是Y,确定了 X “包含于” Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超 集，这是一种偏序关系，所有X是Y并且所有Y是Z则所有X是Y,所有X是Y并且所有Y 是X则X同于Y。E （全称否定）命题：所有X不是Y,确定了 X和Y是“无交集”的关系，这是一种对称关系， 所有X不是Y同于所有Y不是X。（X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集）。1（特称肯定）命题：有些X是Y,确定了 X和Y是“有交集”的关系，这是一种对称关系，有 些X是Y同于有些Y是X。（X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集）。0 （特称否定）命题：有些X不是Y,确定了 X “不包含
9、于” Y的关系。（从X不包含于Y不能 推出 X 包含 Y）。将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：A命题：所有X是Y,它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y,从否定的Y推出否 定的 X。E命题：所有X不是Y,它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y,从肯定的Y推出 否定的 X。I命题：有些X是Y,它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。0命题：有些X不是Y,它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个 存在事实什么也推不出来。 A 命题可以和所有四种命题一起工作。 E 命题还可以
10、和 I 命题一 起工作。两个E命题无法推理。E命题和0命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合 取，不属于这四种命题之一。IE的组合都得出P不包含于S结论，不属于四种命题之一。有 效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、0A这8种组合和4种格共32种情况中检验。首先是推出新规则的推理。第 1 格和第 4 格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上，所以是可直接推出结论。AA组合推出A,其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含于P的关系；第4格AA组合推 论出 P 包含于 S 的关系，这不是四种命题之一，只能在 P 确实有元素存在的前提下弱化为 AAI-4。AE及EA组合推出E,其
11、中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要对换结论E命题 的主词和谓词位置，EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后 的等价者。AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EA0-3。 EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出P不包含于S的结论，不属于四种命题之一。其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一 个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。All-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置，All-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的 等价者。OAO-3是直接推出的，它没有等价者。AOO-2没有等价者，这里对A命题采用了否定后件推 理，历史上采用反证法，假定结论O命题不成立，它与大前提A命题推出与小前提O命题 矛盾的结果，所以结论成立。历史上，对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它们的拉丁语名字中的p所指示的，通过把 A 命题是被弱化为 I 命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。
