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1、数学选修2-2综合测试题(答案)、选择题(B)1 在复平面内，复数z i(12i)对应的点位于A 第一象限B第二象限C 第三象限D 第四象限2.定积分n222si noxdx的值等于(2A.B.c.D.7tS(x)axxa 0 ,且 aC(x) a2，其中1,下面正确的运算公式是(DS(y)S(x)C(y)C(x)S(y);S(y)S(x)C(y)C(x)S(y);C(y)C(x)C(y)S(x)S(y);C(y)C(x)C(y)S(x)S(y);A.B.C.D.3 类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数,)4.已知f (x)322x 6xm(m为常数)在2,2上有最大值3，
2、那么此函数在2,2上的最小值为(A )A -37B.-29C.-5D.-115.已知函数f(x) x32 ax(a6)x1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是(C )A.1a 2B.3a 6 C a3 或 a6D. a1或a 26.设P为曲线C： yx22x3上的点，-且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,_4则点P横坐标的取值范围为()A.1,12B1,0C. 01D- -,127.设曲线yx 1在点(3,2)处的切线与直线axy 10垂直，则a ()x 1A.2B.11C.D.222f (x)，则当a 0时,& 已知可导函数f(x)(x R)的导函数f(x)满足f(x)f (a)和e
3、a f (0) ( e是自然对数的底数)大小关系为f(a) eaf(0)A. f (a) ea f (0)C. f(a) eaf(O)-f (a)f(0)9.给出以下命题：b若 f (x)dx 0,a2则 f (x)0 ;0sin xdx4;已知F (x) f(x),且F(x)是以T为周期的函数，则a0f (x)dxa Tt f(x)dx;其中正确命题的个数为A.1B.2(B )C.3D.010.已知函数f (x)x2 bx的图象在点A(1,f (1)处的切线的斜率为3，数列1-f (n)的前n项和为Sn,则S2011的值为(DA 20082009_ 2009B. 20102010C.2011
4、D 20112012二、填空题11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的的个数是14。12.若函数f(x)x24x1在区间(m,2m 1)上是单调递增函数，则实数 m的取值范围是答案：113 .已知 f (n)1(n nn nk 1kN)，用数学归纳法证明f(2)-时，f(2)f(2)等答案：亠2 114.15.三、解答题16、已知复数z满足z23一- ( i为虚数单位).求z .2 i解.由已知得z2yi,x, y R代人上式得x2y2 2xi1所以2 xy2 1x解得2.32x1y2故z1、.3 .i2217.(1)求证:(
5、1) a2b23 ab、.3(a b)证明：(1) T a2 b2 2ab,a2 3 2.3a,b23 2 3b将此三式相加得(2)b2已知2(a2 b23) 2ab2 3a2 3b,3 ab .3(ab).a,b,c均为实数,2y22 z, c z 2x36a,b,c中至少有一个大于求证：证明：(反证法) 假设a,b,c都不大于o,即0.0,b0,c因为a2y2zn,c32x(x22y(x 即a1)2b c(y0,1)2与a(zbf)1)c(y22zf)0(z2_ n、2x nn)n0矛盾，故假设错误，原命题成立18、设函数f(x)x23x3a(a 0)( 12 分)(1)如果a 1，点P为
6、曲线yf (x)上一个动点，求以 P为切点的切线斜率取得最小值时的切线方程;(2)若 x a,3a时，f (x)0恒成立，求a的取值范围。解：(1)设切线斜率为k,则kf (x) x2 2x 3.当x=1 时，k有最小值-4 。又 f(1)2929所以切线方程为y29349x 1),即 12x 3y 170。(6 分)(2)由 k =M = /(x)=x2-2jc-3 0：函数6)在g-D.盘心)上是增函数，在(1- 3)上是减函数.若x a,3a时，f(x) 0恒成立，贝V:0 a 3a 3/ 、.0 a 33a 亠 a3(1)或(2)或(3)f (3a) 0f (3)0f(a)0(1),
7、(2)无解，由(3)解得a6，综上所述。19 .设函数f (X)(e 1)x,g(x)e . ( e是自然对数的底数)(I)判断函数H(x) f(x)g(x)零点的个数，并说明理由；(n)设数列an满足：a1(0,1)，且 f(an 1)g(an), nN求证：0an1 ；比较an与(e1)an 1的大小.:(I) H (x) (e 1)x e令 H (x) 0, x0ln(e1)当 x(,x)时，H (x)0, H (x)在 x(,沧)上是增函数当 x(x,)时，H (x)0, H (x)在x(x。，)上是减函数 2分从而 H(x)maxH(0) (e 1)x0 1 e*(e 1)ln(e
8、1) e 2 / 4 分注意到函数k(t) tint t 1在1,上是增函数,从而 k(t) k(1)0,又e 11从而H (Xo)0综上可知：H (x)有两个零点. .6分(n)因为 f (an 1)g(an),即(e 1总 1 1 ean所以 an 1 (ean 1).7分e 1下面用数学归纳法证明an (0,1).当n 1时，ai (0,1)，不等式成立.假设 n k 时，ak (0,1)1 a那么 ak 1(ek 1)e 1Q1 eak e 0 eak 1 e 11 a0 (eak 1) 1e 1即 ak 1(0,1)这表明n k 1时，不等式成立.所以对 nN , an (0,1)因
9、为(e 1)an 1 an ean 1 an考虑函数 p(x) ex 1 x (0 x 1) p(x) ex 10从而p(x)在(0,1)上是增函数p(x) p(0) 0所以(e 1)an 1 an 0即(e 1)an 1 an20.已知函数 f (x) aln x ax 3(a R).(i)当a 1时，求函数f (x)的单调区间；(n)若函数 yf(x)的图像在点(2, f (2)处的切线的倾斜角为 45，问：m在什么范围取值时，对于任意的t 1,2，函数g(x) x3 x2m f (x)在区间(t,3)上总存在2极值？p 2e(川)当a 2时，设函数h(x) (p 2)x3，若在区间1,e
10、上至少存在一个xX。，使得h(x)f(x)成立，试求实数p的取值范围.解(I)由 f(X)a(1 X)(x 0)知:X当a 1时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,)；a2()由 f(x)1 得到 a 2，故 f(x) 2lnx 2x 3, f(x)2 -2x32 m3m 22g(x) x3 x2 f(x) x3(2 )x22x, g(x) 3x2(4 m)x 22 2g (2)0因为g(x)在区间(t,3)上总存在极值，且1 t 2，所以，解得：当p 0时，由x 1,e得到px2ln xg (3) 037m9，故当37m9时，对于任意的t1,2，函数33g(x)3 x2
11、 mf(x)在区间(t,3)上总存在极值。(川)f(x)2ln x2x 3，令 F (x) h(x) f (x)px兰 2l nxx x0,空0,所以在1,e上不存在x。，使得 h(x) f(x)成立;当 p 0时F(x)2px 2x p 2e2 ，x因为 x 1,e， 所以2e 2x 0, px2p 0，F(x)0在1,e上恒成立，故F(x)在1,e上单调递增。F (x)max F (e) pe卫4，由题意可知e4e取植范围是(二牛，)。e 121.已知a 0,设函数f (x)a l n x2 - a x(I)求函数h(x)f(x)g(x)的取大值;2a，g(x) -(x 2 a)2.pe
12、卫 40，解得p 簣，所以p的ee 1(II)若e是自然对数的底数，当a e时，是否存在常数k、b ,使得不等式1 2aln x x (x 0),2(x Ja)(x 肺 xxf(x) kx b g(x)对于任意的正实数x都成立？若存在，求出 k、b的值，若不存在，请说 明理由.(2 分)解：(I)T h(x)a h (x)x(0,石)9,)h(x)+0-h(x)极大值x当x ,a时，函数h(x)取最大值alna a ;(4分)2(II)当a e时，h(x) f (x) g(x)的最大值是0,即f(x) g(x)，当且仅当x e时取等号,(6分)函数f (x)和g(x)的图象在x - e处有且仅有一个公共点(.e,-),2t f (x)- 2 . e，函数f (x)的图象在x . e处切线斜率是kfe ,x_ 3e
