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1、课时巩固过关练(十七)圆锥曲线中的热点问题一、选择题1已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A. B.C3 D2解析：解法一：设椭圆方程为1(a1b10)，离心率为e1，双曲线的方程为1(a20，b20)，离心率为e2，它们的焦距为2c，不妨设P为两曲线在第一象限的交点，F1，F2分别为左，右焦点，则易知解得在F1PF2中，由余弦定理得(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos604c2，整理得a3a4c2，所以4，即4.设a，b，ab|a|b|，故的最大值是，故选A.解法二：不妨设P在第一象
2、限，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理得m2n2mn4c2.设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则.2，易知21的最小值为.故max.故选A.答案：A2设P，Q分别为圆x2(y6)22和椭圆y21上的点，则P，Q两点间的最大距离是()A5 B.C7 D6解析：设Q(cos，sin)，圆心为M，由已知得M(0,6)，则|MQ|5，故|PQ|max56.答案：D3(20xx广东深圳一模)过点(0,2b)的直线l与双曲线C：1(a0，b0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线
3、C的离心率的取值范围是()A(1,2 B(2，)C(1,2) D(1，)解析：由题意得，直线l的方程为yx2b，即bxay2ab0，因为双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，所以直线l与bxay0的距离恒大于或等于b，所以b，即3a2b2，3，e214，又e1，1b0)，P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，过F2作F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为()A. B.C. D1解析：如图所示，设F1PF2的外角平分线为PT，则F2QPT，延长F2Q交F1P的延长线于M.PT为F2PM的平分线，且PQF2M，F2P
4、M为等腰三角形，且|PM|PF2|，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a，|PM|PF1|F1M|2a.又O为F1F2的中点，Q为F2M的中点，|OQ|F1M|，|OQ|a，又|OQ|2b，a2b，e.2b2，当且仅当2b，即b时，取得等号，故选C.答案：C二、解答题5如图，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.解：(1)设直线l的方程为ykxm(kb0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m0)都在椭圆C上，直线PA交
5、x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题意得解得a22.故椭圆C的方程为y21.设M(xM,0)因为m0，所以1nb0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2xy60相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线yk(x2)(k0)与椭圆C的两个交点，问在x轴上是否存在定点E，使得2为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由解：(1)由e，即，得ca，(*)由已知得圆的方程为x2y2a2，又圆与直线2xy60相切，所以a，代入(*)式得c2，所以b2a2c22.所以椭圆C的标准方程为1.(2)存在由得(13k2)x212k2x12k260.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，假设在x轴上存在定点E(m,0)，使得2()为定值，则(x1m，y1)(x2m，y2)(x1m)(x2m)y1y2(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)(4k2m2)的值与k无关，3m212m103(m26)，得m.此时，2m26，所以在x轴上存在定点E，使得2为定值，且定值为.
