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1、东方教育学科教师辅导讲义讲义编号 SH15ltjh00004学员编号：年 级：高三课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：刘帅帅学科组长签名及日期剩余课时数课 题空间几何体及其表面积和体积，空间几何体的内接外接和内切外切问题授课时间：备课时间：教学目标掌握常见的空间几何体的性质及其体积和表面积公式，会处理空间几何体的内接外接和 内切外切问题重点、难点空间几何体的内接外接和内切外切考点及考试要求会用文字语言、图形语言、符号语言、集合语言表示这些位置关系。会用演绎法对 空间有关问题进行证明和推算，具有一定的演绎推理能力教学内容复习巩固一、空间几何体结构(一) 概念：只考虑物体的形状和大小，而不考
2、虑其他因素，由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何 体。多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面 体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定 直线叫做旋转体的轴。(二) 空间几何体的结构结构特征结构特征图例棱柱(1) 两底面相互平 行，其余各面都是 四边形；(2) 并且每相邻两 个四边形的公共边 都互相平行ABCDEF 一姐明跖.圆柱(1)是以矩形的 一边所在直线为 旋转轴，其余三 边旋转形成的曲 面所围成的几何
3、体，圆柱 *.惆面一r! 、.、1 J :喉面A 卧、附-1 愤一pS输- MWH 二棱锥（1）底面是多边 形，各侧面均是三 角形；（2）各侧面 有一个公共顶点. 棱锥S-ABCD（1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角 圆边所在的直线为 锥旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何 体.圆锥值点WK / / N血.由M%1棱 台（1）两底面相互平 行；（2）是用一个 平行于棱锥底面的 平面去截棱锥，底 面和截面之间的部 分.棱台 ABCD-AC（1）两底面相互 平行；（2）是用一个平 圆行于圆锥底面的 台平面去截圆锥，底面和截面之间 的部分.圆台00勺_5球（1）球心到球面上各点的距离
4、相等；（2）是以 半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的几何体.球O.1Xr Utt棱柱三棱拄四棱柱五按柱多面体棱椎棱台锥体三棱椎简犀几何体四投推跋看碰椎EI柱台体圆台r三棱台 棱台（四授台 五照圆锥HI台球体球体空间几何体的直观图直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确定点的 位置的画法.基本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的X轴和y轴，得到直角坐标系xoy，直观图中画成斜坐标系Xy，两轴夹角为45.（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x或y轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于
5、x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原 来的一半.空间几何体的表面积和体积面枳一一圆柱的侧面-积: -圆锥的侧面积: 一圆台的侧面积: -球的表面枳：体积一柱体的体积：r = Sh一锥体的体积：V =、Sh台体的体积:矿=?（S + /宁+ 5）方球的体积：/ = 士兀R3S=2兀 r （r+l）表面积：圆柱：S =兀 r （r+l）S =兀圆锥：圆台：2+r 2+r l+rl)二.讲授新课1）简单几何体结构的理解与应用1. 下面几何体的轴截面一定是圆的是（）A. 圆柱B.圆锥C.球D.圆台2. 下列说法中正确的是（）.A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
6、B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3. 以等腰直角梯形的直角腰所在的直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是。4. 若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2,底面周长为9,求棱锥的高。例1如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面侦上，且ACD，正方体的六个面所在的平面与直线A.【答案】ACE,EF相交的平面个数分别记为m, n ,那么m + n =练习 如图，在透明塑料制成的长方体航81朋容器内灌进一些水，将容器底面一边bc固定于地面上，再将容器倾斜，随
7、着倾斜度的不同，有下列四个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A】始终与水面EFGH平行；当EeAA.时，应占+是定值.其中正确说法 .解：水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断正确； 水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，是不正确的； 棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1#EF，所以结论正确； 当EEAA1时，AE+BF是定值.水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确.例2 棱长为1的正四面体中，连接四个面的中心，得到一个正四面体，再连接此
8、正四面体的中 心，又得到一个正四面体，如此操作下去，则包括原正四面体在内的所有依次得到正四面体的体积 组成等比数列，则公比是多少呢？ 分析：由于原正四面体的棱长为1，由此可得BD=1，由中位线定理可知：GH=1/2,BD=1/2，又由重 心定理可知：EF=2/3, GH=1/3，可得四面体与原四面体的相似比为1:3，由此可得体积比.练习 已知梯形ABCD中，AB/CD, ZB = 土，DC=2AB=2BC = 2,以直线AD为旋转轴旋转一周得到 2的几何体的表面积为多少？4 J2n旋转后得到的几何体为：AB形成内陷的圆锥侧面，BC形成圆台侧面，CD形成大圆锥侧面内陷圆锥和圆台侧面积刚好与大圆锥
9、侧面积相等大圆锥侧面积S1=2”2n2/2=2 2nS=2S1=4”2n .2）空间几何体上的最短路径问题例3 如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正 在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m。（结果不取近似值）AAB匕三当C解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n，由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，尸-TT J L1“二“=膏&二 ABAC = -A8（）Q= 90 可得1织，再由AC=BC=6m，可得n=180。故在展开的平面图形中，？。点C到P的最短距离为cp =
10、Jac2 +ap2 = J 必 +3=以伽）3）几何体的表面积和体积基础知识检测1.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且 ADE ABCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为（解析:如图,将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.3在梯形ABFE中，易知BN=-.s4=n2 bchn= 2 XIX故该几何体体积为孚Xf443 4 2答案:A2-已知三个球的半径Ri， R2， R 3满足R1+2R2=3%，则它们的表面积S1S3 ,满足的等量关系是【答案】寸异+2提【解析】S = 4兀R2， 甘=2泰R，同理：= 2切R .S = 2&R ,11
11、、11、22、33=土12逐=与，由 R1+ 2R2 = 3RJ.阵 + 2 撬2）空间几何体的内接外接和内切外切例3已知：一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱.（1）求圆柱的侧面积；（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大.解：（i）设内接圆柱底面半径为r.r HH r = R（ H - x）S圆柱侧2灯-X代入S= 2 兀x -R (H 一 x) = 2 ( x 2 + Hx x H)圆柱侧HH（2） S圆柱侧=竺(-x 2+ Hx )=些HHfTjx - H22 H 2+ 4丸RHS一，.=圆柱侧最大2H例4长方体ABCD - ABCD的8个顶点在同一个球面上，且iii
12、iAB=2, AD= t3 ,AA1 = 1,则顶点a、B间的球面距离是（：2 丸A 7B.C.(2丸D. 2*2丸2【答案】B【解析】BD = ACi = 2R = 2、疙，二R =十2,设/DVC1BD AC = 0,则 OA = OB = R =皿,n AOB = , l = R0 =，。2 x ,故选8.22练习1.如图所示，球面上有四个点P、A、B、C,如果PA, PB, PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个 球的表面积。解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为匚圆心为O,球心到该圆面的距离为d。 在三棱锥PABC中，.PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=
13、PC=a,.AB=BC=CA=(2。，且P在ABC内的射影即是 ABC的中心O。2a： 6由正弦定理，得-TT =2r,.r=- a。sin 603又根据球的截面的性质，有OOL平面ABC，而PO平面ABC，.P、O、O共线，球的半径R=r2 + d2。又PO = PA2 r2 = a2 -2a2 =买a， 33.一，- 展 .；一_,、6口-扣3.OO =R a=d= * R 2 r 2 ,(R a)2=R2a)2，解得 R= a,.S 球4n R2=3n a2。点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径3就是正方体的对角线，易得球半径R=-5-。,下略，2.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为。.(1) 求球。的体积和表面积；(2) 与底面距离为1的平面和球的截面圆为M，AB是圆M内的一条弦，其长为2.摭，求AB两 点间的球面距离.一 、432n、2n解：(1)匕广 -.兀.23 =飞一，S表面积=4兀22 =16兀(2) ZAOB = -，所以AB两点间的球面距离为出.3签字确认学员教师二班主任 ZZ
