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1、24.1.2 垂直于弦的直径教案江西省瑞金市叶坪初中 黄宝发教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理及其推论；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜测证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。教学重点：使学生掌握垂径定理及其推论、记住垂径定理的题设和结论。教学难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明。教学过程：一、复习引入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称和轴对称）2、圆还有什么对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是什么特殊
2、位置？（直径所在的直线）3、观察并回答：（1）在含有一条直径AB的圆上再增加一条直径CD，两条直径的位置关系？（相交，而且两条直径始终是互相平分的） （2）把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？二、新课（一）猜想，证明，形成垂径定理1、猜想：弦AB在怎样情况下会被直径CD平分？（当CDAB时）（用课件观察翻折验证）2、得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，当CDAB时，弦AB会被直径CD平分。3、提问：如何证明该命题是真命题？根据命题，写出已知、求证：如图，已知CD是O的直径，AB是O的弦，且ABCD，垂足为M。求证：AE=BE。4、 思考：直径CD两侧相邻的两
3、条弧是否也相等？如何证明？(参照数本P81)5、我们给这条特殊的直径命名垂直于弦的直径。并给出垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。（二）分析垂径定理的条件和结论以及探讨垂径定理的推论1、引导学生说出定理的几何语言表达形式 CD是直径、AB是弦 AE=BE CDAB 2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理的本质了解。例1 看下列图形，是否能直接使用垂径定理？3、引申定理：定理中的垂径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 经过圆心 得到（结论） 平分弦一条直线具有（条件）： 垂
4、直于弦 平分弦所对的劣（优）弧4、思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？（得出推论）平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（通过课件展示）（三）例题例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径在例1图形的基础上：变式（1） 已知：如图，若以O为圆心作一个O的同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点。求证：ACBD。 （图1） （图2） 变式（2）再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD 变式（3）隐去（图1）中的大圆，得（图3）连接OA，OB，设OA=OB，求证：ACBD。 （图3） （四）生活实际应用ABOCD另例 赵州桥是我国隋代建造的
5、石拱桥，距今约有1400 年的历史，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.23米，求桥拱的半径（精确到0.1米）解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m AD= 1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=r-7.23 解得r=27.3（m） 即主桥拱半径约为27.3m三、小结1、这节课我们学习了哪些主要内容？2、应用垂径定理要注意那些问题？垂径定理的条件和结论： 经过圆心 得到 平分弦一条直线具有： 垂直于弦 平分弦所对的劣（优）弧 垂径定理的推论的条件和结论 经过圆心 得到 垂直于弦一条直线具有： 平分弦 平分弦所对的劣（优）弧解决问题的相关思路：解决有关的问题，可以通过过圆心作弦的垂线段这条重要的辅助线，使圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，将问题转化为解直角三角形的问题。3、 课后思考：若将条件和结论中5个命题随意提出2个作为条件，能否得出其他3个结论存在？若存在，先证明，尝试着写出相应的完整推论。（其实这个回答是肯定的，这也是垂径定理的推论中的知二推三）四、 作业布置习题24.1 P90 第10题
