《九年级数学下册6.4.5三角形的重心同步练习(共4套苏科版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学下册6.4.5三角形的重心同步练习(共4套苏科版)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、实用精品文献资料分享九年级数学下册645三角形的重心同步练习（共4套苏科版）6.4 第5课时 三角形的重心一、选择题1 .下列命题中，错误 的是（）链接听课例1归纳总结A .三角形的重心是三条中线的交点B.三角形中各条边的中垂线的交点是三角形的重心 C .三角形 的重心一定在三角形内 D.一个三角形只有一个重心2 .如图K19 ， ABC中, D是厶ABC勺重心，连接 AD并延长，交BC于点E, 若 BC= 6,则 EC的长度为（）图 K 19 1 A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.53.图K 19 3中的四个三角形，与图K- 19 2中的三角形相似的 是（）图 K 19 2图 K
2、19 3 图 K 19 4 4 .如图 K- 194,正方形ABCD勺对角线AC与 BD相交于点Q / ACB的平分线分 别交AB BD于 M N两点.若AM= 2,则线段QN的长为（）A.22B.32 C . 1 D.62二、填空题5 .已知正三角形的边长为2,则它的 重心到三个顶点的距离之和为 .6 .等腰直角三角形ABC中,斜边AB= 6,则该三角形重心与外心之间的距离是 . 7 .如图 K 19 5 所示，在 Rt ABC中, / ACB= 90, CD是边 AB上的高， BC= 5, BD= 4,贝卩CD的长为, AD的长为. 图K19 5 8 .如图 K 19 6,已知 AB1 B
3、D EDLBD C是线段 BD的 中点，且 ACLCE ED= 1, BD= 4,那么 AB=. 图 K 196三、解答题9 .求证：三角形的重心将中线分成 2 ：1的两部 分.图 K 19 710. 如图K 19 8,已知ADABC的边BC上的中线，G是三角形 的重心，EF过点G且平行于BC,分别交AB AC于点E, F.求AF： FC 和EF： BC的值.图K 19 811. 如图K 19-9,在厶ABC中，AB= AC,以AC为直径的OO交AB 于点D,交BC于点E. （1）求证：BE= CE 若BD= 2, BE= 3,求 AC的 长.图 K- 19 912. 如图K- 19- 10所
4、示，在四边形 ABCD中 AB/ CD且AB= 2CD E, F分别是AB BC的中点，EF与BD相交于点M. （1）试说明： EDMbA FBM （2）若 BD-9,求 BM的长. 图 K- 19- 10探究题我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做 三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有 一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若0是4 ABC的重心（如图K -19- 11），连接A0并延长交BC于点D,证明：AOA& 23; （2）若 AD ABC的一条中线（如图），0是AD上一点，且满足AOA圧
5、23, 试判断0是厶ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理 由；（3）若0是厶ABC的重心，过点0的一条直线分别与 AB AC相 交于点G, H（均不与厶ABC的顶点重合）（如图），S四边形BCHG SAAGH分别表示四边形BCHGAAGH勺面积，试探究S四边形 BCHGSAGH的最大值.图 K- 19- 11详解详析课堂达标1. B 2.解析C 7是厶ABC的重心，二AE 是BC边上的中线，E是BC的中点. 又T BC= 6,二EC= 3.故选C. 3.解析B 本题方法较多，可以从三边对应成比例入手；还可以 通过观察，发现原三角形是直角三角形，再根据其直角边对应成比例 入手等.4
6、 .解析C 如图，作MHLAC于点H. T四边形ABCL为 正方形，/ MA申45,AMH为等腰直角三角形，二AH= MH=22AM= 22X2 = 2. vCM平分/ ACB Z ABC= 90, BM= MH= 2, AB= 2 + 2, AC= 2AB= 2（2 + 2） = 2 2 + 2,OC= 12AC= 2+ 1,CH= AC- AH= 2 2 + 2-2= 2 + 2. / BCLAC ON/ MH COM4 CHM -ONM= OCCH 即 ON= 2+12 + 2,二 ON= 1.故选C. 5 . 2 3 6 .答案1 解析如图，等腰直角三角形的外心 是斜边的中点 D,二C
7、D= 12AB= 3. VI是厶ABC的重心，二DI = 13CD =1.故答案为1. 7 . 394 8 .答案4 解析证明 AB3A CDE即可.9 .证明：连接EF. V BF,。丘是厶ABC的中线，二E, F分别 是ABAC的中点，二EF是厶ABC的中位线，从而BC/ EF, BC= 2EF, EF3ACBG 二 BG= 2GF, CG= 2EG.同理，AG= 2DG.二三角形 的重心将中线分成2 ：1的两部分.10 .解析G是三角形的重心， 所以可知 AG： GD-2 : 1, AG： AD-2 : 3, EF/ BC 所以 AF： FC= AG： GD-2 ： 1, EF： BC=
8、 AF： AC= AG： AD-2 : 3.解：vg 是三角形 的重心，且 AD是 BC边上的中线， AG： GD-2 : 1, AG： AD-2 : 3.V EF/ BC AF： FC= AG： GD-2 : 1, EF： BC= AF： AC= AG： AD- 2 : 3. 11.解：(1)证明：如图，连接AE. v AC为OO的直径，/AEC =90 AE1BC,而 AB= AC, BE=CE. 如图，连接 DE. V BE =CE= 3, BC= 6. V/ BEDhZ DEC= 180, / BAOZD EC= 180, / BED-Z BAC.又 V/ DBE=Z CBA BED
9、BAC 二 BEABDBC 即 3AB= 26 , AB= 9, AC= AB= 9. 12 .解：(1) ve 是 AB 的中点，AB= 2CD BE= CD. v AB/ CDCDZ EBD.又 v BD=DBCDB2A EBDCBZ EDB.又 V/ DMZ BMF EDMb FBM. (2)由(1)中厶 CDBA EBD 知 BC= DE.又vf 是 BC的中点，二 BFD 12.由(1)中厶 EDMb FBM得 BFD BMDM12 , BMB13，二BM= 13BD- 3.素养提升解析(1)如图，作出 中位线DE证明 AOOA DOE可以证明结论；(2)如答图2,作厶ABC 的中线
10、CE与AD交于点Q,则点QABC的重心.由(1)可知，AQAD =23 ,而已知AOA 23 ,故点0与点Q重合，即点0为4ABC的重心； 如答图3,利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出S四边形BCHGSAGH勺表达式，这是一个二次函数，利用二次 函数的性质求出其最大值.解：(1)证明：如图所示，连接 CO并延长，交AB于点E. V 0是4 ABC的重心， CE是中线，E是AB的 中点，二 DE是中位线， .DE/ AC,且 DE= 12AC. VDE/ AC, AOC DOE 二 AODACD 2. v AD- AO OD 二 AOA 23.O是厶ABC的重心. 证明：如图，作
11、 ABC勺中线CE与AD交于点Q贝卩0为厶ABC的重心. 由(1)可知，AQA9 23, 而A0A923, 点Q与点0重合(是同一个点)，/.O是厶ABC的重心.(3) 如图所示，连接DG.设SAGOb S,由(1)知AOA& 23,即A0= 20D 二 SA AGO= 2S, SA AGD= SA GO SA AGO= 3S.为简便起见，不妨设 AG= 1, BG= x, 则 SABGD= 3xS,SAABD= SAAGD- SABGD= 3S+ 3xS= (3x + 3)S,SAABC= 2SAABD= (6x + 6)S.设 OHb k?OG由 SA AGO= 2S,得 SA AOHb
12、2kS,SA AGHb SA AGO- SA AOHb (2k+ 2)S. /.S 四边形 BCHb SA ABC- SA AGHb (6x + 6)S (2k + 2)S = (6x 2k + 4)S. /S 四边形 BCHB笙AGHb( 6x 2k + 4) S (2k + 2) S =3x k + 2k +1.如图，过点 O作OF/ BC交AC于点F,过点G 作 GE/ BC交 AC于点 E,贝S OF/ GE.TOF/ BC, / OFCb AOAb 23, /. OF= 23CD= 13BC. v GE/ BC, / GEBb AGAB= 1x + 1, 从而 GE= BC+ 1 ,/ OFGb 13BCBC+1 = x + 13,/.OFGOF= x + 13 (x + 1) = x+ 12x. vOF/ GE /OHGH=OFGE / OHObOFGOF= x + 12 x,/ k= x + 12 x,代入式得 S 四边形 BCHGAAGb 3x k + 2k+ 1 = 3x x + 12 x+2x+ 12 x+ 1 = x2 + x+ 1 = (x 12)2 + 54,当 x= 12 时，S 四边形BCHGAAGH有最大值，最大值为 54.
