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1、两招极值点偏移问题一、极值点偏移的含义众所周知，函数f (x)满足定义域内任意自变量x都有f (x) = f (2m - x),则函数f (x) 关于直线x二m对称；可以理解为函数f (x)在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 f (x)为单峰函数，则x = m必为f (x)的极值点.如二次函数f (x)的顶点就是极值点x0,x + xx + x若f (x) = c的两根的中点为飞 缶，则刚好有飞 2二xo，即极值点在两根的正中间, 也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数f (x)的极值点为m，且函数f (x)满足定义域内x二m左侧的任意自变量x都有f (x) f
2、(2m - x)或f (x) f (2m - x)，则函数f (x)极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数f (x)定义域内任意不同的实数x ,x1 2 满足f (x ) = f (x )，则Z与极值点m必有确定的大小关系：1 2 2x + xx + x若m 1 2 2，则称为极值点右偏.如函数g(x)=兰的极值点x0二1刚好在方程g(x) = c的两根中点2的左边，我们称ex02之为极值点左偏.1. 若函数f(x)存在两个零点x ,x且x丰x，求证：x + x 2x ( x为函数f(x)的12 12 1 2 0 0极值点)；2. 若函数f (x)中存在x ,x且x丰x满足f (x ) = f
3、 (x )，求证：x + x 2x ( x为1 2 1 2 1 2 1 2 0 0函数 f(x) 的极值点)；3. 若函数f (x)存在两个零点x ,x且x丰x，令x = T 2 ,求证：f (x ) 0 ；1 2 1 2 0 2 04. 若函数f (x)中存在x , x且x丰x满足f (x ) = f (x )，令x =T2，求证：1 2 1 2 1 2 0 2f(x ) 0.0二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1) 求出函数 f(x) 的极值点 x0；(2) 构造一元差函数F(x) = /(xo + x) - /(x - x)；(3) 确定函数F(x)的单调性；(4) 结
4、合F(0) = 0，判断F(x)的符号，从而确定f (x + x)、f (x - x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2、抽化模型答题模板：若已知函数f (x)满足f (x ) = f (x )，化为函数f (x)的极值点，求证：1 2 0x + x F(x )二 f (x ) - f (x )二 0，从而得到：x x 时，f (x + x) f (x - x).0 0 0 0 0 0(4)不妨设 +x调递减，故f ( W 2) 0.【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分
5、解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点,证明f (x0 + x)与f (x0-x)(或f(x)与f (2x0-x)的大小关系；若试题难度较大，则直 接给出形如xi + x2 2x0或f(甘乙) 0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该 小问分解为三问逐步解题. x x 时，f (x + x) f (x x)且 x x f x0-(x2 - x0)二 f (2x0-x2)，又因为 xi x02x -x2 xo且f (x)在 Y，xo)上单调递减，从而得到x 2xo -x2，从而x + x2 2xo得 证.x + xx + xx + x(5)若要证明f(-y-) 0，还需进一步讨论y与x
6、0的大小，得出y所在 的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为x + x 2x，故耳Z 2.1 2 1 2 1 2【解析】容易求得第(1)问：f(x)在(8,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，f (x)的 极值是f (1)=。e第(2)问：构造函数F(x)= f (1+ x) f (1 x) n F(x)= f (1+ x) f (1 x) =xexi e(1+x )_| = x1 0Lex+1所以F(x)在R上单增，容易看出F(0) = 0 (找的就是它，构造的目的就是为了得到F(x)= f (1+ x) f (1 x)是正是负)所以，当 x0 时
7、，F(x) 0 n f (1+ x) f (1 x)不妨设x1 x2,由知I x1 1 f1-(x 1) = f (2 x ). x 1，: 2 x 2 x，: x + x 2.2 2 1 2 1 2 原命题得证。一定得构造F(x)= f (1+ x) f (1 x) ?答：不。构造F(x)= f (x) f (2 x)也行。证明如下：(x) = f (x) f (2 x) = (x 1)ex e 2x=(x -1)e 2 x e 2e 2Le2+xF(x)= f (x) f (2 x) n F所以 F(x)单增，F (x)= f (x) f (2 x) F(1) = 0 n f (x) f
8、(2 x)x1主x2，不妨设J x1 x2，由知 x1 1 2 - x2f (x ) = f (x ) f (2 - x ) n x 2 - x n x + x 21 2 2 1 2 1 2 原命题得证。可否构造其他的？答：可以，F(x)= f(a + x) f(b x)(a + b = 2)这里的“2”是极值点的两倍。那答案为什么不给出其他的构造呢？因为那样很繁琐，也破坏了数学的对称美。其中这种F(x)=f (1+ x) f (1 x)构造的美感最强。【例2】函数f (x) = x2 - 2x + 1 + aex有两极值点xi，x2，且叫4.【解析】令 g (x) = f(x) = 2 x
9、- 2 + aex则x, x2是函数g(x)的两个零点。令 g (x) = 0 n a =2 (x 1) ，ex令 h( x) = 2(x 1)n h(x )= h(x )= a,h(x) =_-ex12e x易得h(x)在区间(8,2)单调减，(2, +a)单调增，所以x 2 x，令2x 2-x - e2+x)2x e2-x - e2+x)H (x )= h (2 + x) h (2 x )n H (x )= h (2 + x ) h (2 x )=e2-xe 2+xe 4当 0 x 2 时，H (x) 0, H(x)单调递减，有 H(x) H(0) = 0所以 h(2 + x) h(2 x
10、)，所以 h(x ) = h(x ) = h2 + (x 2) h2 (x 2) = h(4 x )，1 2 2 2 2因为x 2，4 x 4 x?，即 x + x2 4 .2【例3】已知函数f (x) = + In x,若x丰x，且f (x ) = f (x )，证明：x + x 4.x 1 2 1 2 1 2 2【解析】由函数f (x) = + Inx单调性可知：若f (x ) = f (x )，则必有0 x 2 2，+ ln(4 - x ),而 f (珥)-f (4 - 兀严 | +lnxi1令 h( x) = * 1 2x+ ln x + ln(4 一 x)4-x八 /、2211 一
11、2(4 一 x)2 一 2x2 + x(4 一 x)2 + x2(4 一 x)h (x) = - 一+ +=x2(4 一 x)2x 4 一 xx2(4 一 x)28( x 2)2广G)=1 -2ax=字(x )(1)当 a 函数f (x)在(，+8)上单调递增，不可能有两个零点当a 时,2)f (x )= , x =1x唱J 2af(x )+0f (x)极大值、的极大值为 f2a I-2，由ln因为 f一 ae -2 a 得 a ；显然当x T+8时，f (x) ,所以f(x)在+8上必存在一个零点; 所以当 a 时,f(x)的极大值为 f11a 2 2.令 F (x) = f (x) f (2 x)F(x)= f(x) f(2 x)= + 2 ,x 2- x由 F(x) x 1X(OJ)十Fg/10极大值.x 1 x n F (x )= f (x )- f(2-x ) F (1)= 0 n f (x ) f(2-x )J(x )= f (x )n1 f (
