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1、信息迁移题随着高中新课程改革的深入，对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高.信息迁移题是指以学生已知的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境、生活情境或定义新的数学内容.这类题目要求学生在阅读理解的基础上及时捕捉和利用信息，结合原有知识做出判断、推理、概括、运算和表述，不仅考查了学生的阅读能力和数学语言转化能力，而且考查了学生的探索能力和创新能力.一、定义新的运算1.对于函数与，规定当时，；当时，.若，则的最大值为 .【分析】.【解析】由，得，则，故该函数在区间上递增，在区间上递减，故在出取得最大值为2.2.（2010年山东卷第12
2、题）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下列说法错误的是（ ）A.若与共线，则 B.C.对任意的，有 D.【分析】本题考查平面向量的基本知识.【解析】若与共线，则，使得，则有，故，故A正确；因为，而，所以有，故B错误；由，则，故C正确；，故D正确.故应选B.3.（2011年高考天津卷理科第8题）对实数和，定义运算“”：设函数，.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题设，图像如下：函数图象的四个端点（如图）为，另外，函数的图象与轴恰有两个公共点等价于函数与的图象恰有两个公共点，从图象中可以看出，直线穿过点与点之间或穿过点及其下
3、方时，直线与图象有且只有两个公共点，所以实数的取值范围是.故选B.4.定义一种运算，对于正整数n，满足以下运算性质：（1）；（2），则用含n的代数式表示为 .【解析】法1：由题意，可得，即；，即；，即；综上，猜想.法2：利用递推公式求解. .法3：设，则题目转化为已知，求，不难看出数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.5.（2012年福建卷理科第15题）对于实数a，b，定义运算“”：，设，且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_.【答案】【分析】本题考查的知识点为新定义的理解，函数与方程中根的个数.【解析】由题可得，即，图像如下：由已知及图像，可得，且，故，当m逐渐增大时
4、，逐渐增大，逐渐增大，且时，和同时取最大，即当时，所以.二、定义新的概念1.设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为.若映射满足：对所有、及任意实数、都有，则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：设f是平面M上的线性变换，则；对，设，则f是平面M上的线性变换；若是平面M上的单位向量，对，设，则f是M上的线性变换；设f是平面M上的线性变换，、，若、共线，则、也共线.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）【解析】对于：令，得；对于：由对，设，得对、及任意实数、，有，故f是平面M上的线性变换；对于：由对，得对、及任意实数、，有，故，f不是平面M上的线性变换；对于：若与共线，则存在、
5、，使得，又f是平面M上的线性变换，故，即，故与共线.2.（2011年高考福建卷文科12）在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，.给出如下四个结论：；整数属于同一“类”的充要条件是“”.其中正确结论的个数为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，所以正确；，所以不正确；，所以正确；若整数属于同一“类”，则，则，所以正确.综上，正确，故选C.3.（2011年湖北卷文科10）若实数a，b满足，且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的（ ）A.必要不充分条件 B.充分不必要的条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则，平方整理，得，则a与b互补
6、；反之，若a与b互补，则，则故是a与b互补的充要条件.4.（2011年高考山东卷理科）设，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若，且，则称，调和分割， ，已知点，调和分割点，则下面说法正确的是（ ）A. C可能是线段AB的中点B. D可能是线段AB的中点C. C，D可能同时在线段AB上D. C，D不可能同时在线段AB的延长线上【答案】D【解析】对于A：若C是线段AB的中点，则，又，故不存在，故排除答案A；对于B：和A同理排除；对于C：若C，D同时在线段AB上，则均小于1，则，与定义矛盾，故排除答案C；对于D：若C，D同时在线段AB的延长线上，则均大于1，则，与定义矛盾，故C，D不可能同时在线段A
7、B的延长线上，答案D正确.5.（2011年高考四川卷文科16）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数.例如，函数=2x+1()是单函数.下列命题：函数是单函数；指数函数是单函数；若为单函数，且，则；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是_.（写出所有真命题的编号）【答案】【解析】对于：若，则，故函数不是单函数；对于：若，则，即，故是单函数；对于：实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于：根据单调函数的定义及命题，可知命题是真命题.6.已知数列满足，定义使为整数的叫做企盼数，则区间内所有企盼数的和 .【解析】，若为整数，则为整数，则可设，即，其中，且，又，故，即，解得，
8、故符合条件的k的值分别为，故区间内所有企盼数的和为.7.设，A与B是I的子集，若，则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定与是两个不同的“理想配集”）A.4 B.8 C.9 D.16【分析】考查子集概念及与集合有关的新定义问题，解答本题的关键是读懂“理想配集”的含义.【解析】由A与B是集合I的子集，且，得A、B应为，中的一个，由定义知，若，则B可以取以上4个集合中的任意一个，即共有4种不同的情况；若，则B可以取，中的任何一个，即共有2种不同的情况；若，则B可以取，中的任何一个，即共有2种不同的情况；若，则B只可以为这一种情况；综上所述，符合题意的情形共有4+2+2+1
9、=9（种），故应选C.【引申】若，则符合条件的“理想配集”有多少个？A、B为，中的一个，以上的集合个数相当于集合的子集个数，共有个，若集合A中只有元素1和2，则符合条件的A只有1个，符合条件的B可以取以上集合中的任何一个，共种不同的情况；若集合A中除元素1和2外，还有1个元素，则符合条件的集合A有种不同的情况，符合条件的集合B的个数相当于是集合的子集个数，共有种不同的情况；若集合A中除元素1和2外，还有两个元素，则符合条件的集合A有种不同的情况，符合条件的集合B共有种不同的情况；依此类推，若集合，则符合条件的集合B只有这一种情况；综上，符合题意的“理想配集”共有（个）.8.（2012年高考湖北
10、卷理科7）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：； ； ； .则其中是“保等比数列函数”的的序号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为等比数列，故，其中，q是常数.对于：，则，故是等比数列，故为“保等比数列函数”；对于：，则，若为常数，则是等比数列，但为等比数列，不一定等差，故不一定是等比数列，故不是“保等比数列函数”；对于：，则，故是等比数列，故为“保等比数列函数”；对于：，不一定为常数，故不一定是等比数列，故不是“保等比数列函数”.故应选C.注：此题主要考查等比数列的定义，同时也可以利用等比数列的其他形
11、式，如.9.（2012年高考湖北卷理科13）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，99；3位回文数有90个：101，111，121，191，202，999；则（）4位回文数有 个；（）位回文数有 个.【答案】90；【分析】此题的第（）是第（）问的铺垫，在解题的过程中，除了从已知条件中找到规律外，在解第一问时要注意观察，找到回文数这个概念的精髓，从而使问题得以解决.【解析】（）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，故分为两步，先排第一位，由于第一位不能为0，有9种情况，再排第二位，有10种情况
12、，故4位回文数有个.（）法一：（猜想）可以考虑，5位回文数有多少种？6位回文数有多少种？5位回文数是在4位的基础上多一步，考虑中间位置，有10种情况，故5位回文数有个；6位也是在4位的基础上多一步，考虑中间位置，有10种情况，故6位回文数也有个；通过以上几种情况可以推测7位和8位回文数均有9000个，依此类推，故位回文数共有个.法二：由多组数据研究发现，2n+1位回文数的个数取决于前n+1位，而前面n+1位中，首位有9种情况，其余n位均有10种情况，故位回文数共有种.10.（2012年高考广东理科8）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量，满足，与的夹角，且，都在集合中，则（ ）A. B
13、.1 C. D.【答案】C【解析】根据已知条件，得，又，故，又，故，又在集合中，故，则，则，又在集合中，故.11.（2011年高考广东卷文科10）设是上的任意实值函数，如下定义两个函数和：对任意，；，则下列等式恒成立的是（ ）A.B. C. D. 【答案】B【解析】对A选项 ：显然，故排除A；对B选项：， 故，B正确；对C选项：，显然，故排除C；对D选项： ，显然，故排除D.12.（2012年高考湖南卷文科16）对于，将n表示为，当时，当时，为0或1.定义如下：在n的上述表示中，当中等于1的个数为奇数时，；否则.（1） ；（2）记为数列中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则的最大值是 .【答案】3；2【解析】观察知n=1时，则k=0，且，则；n=2时，则k=1，且，则；n=3时，则k=1，且，则；n=4时，则k=2，且，则；依此类推，则；，则；，则；，则；（1）由以上，得（2）由前面的类推，知数列的各项分别为：1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，0，1，1，故观察到的最
