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1、专题 07 平面向量1. 【2022年全国乙卷】已知向量五= (2,1), b = (-2,4)，则阪b| ()A2B3C4D5【答案】 D【解析】【分析】先求得a b，然后求得阪【详解】因为五b = (2,1) (2,4) = (4, 3)所以 |五一b|= 42 + (3)2 = 5-故选：D2. 【2022年全国乙卷】已知向量a,b满足同=1,间=J3,阪一2习=3，贝临庁=()A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】 C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：阪一2习2 = |引2 4必昉+ 4|可2，又：同=1,同=袒,阪2习=3,9= 1 4必)+4
2、x3 = 13 4ci b，：必 F = 1故选： C.3. 【2022年新高考1卷】在中，点D在边AB上，BD = 2D4.记CA =兀CD = n, 则苗=()A. 3方2厉B. 2方+3右C. 3方+2处D. 2方+3处【答案】 B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点 D 在边 AB 上，BD = 2DA，所以BD = 2DA,即即（JDCB = 2CA - CD , 所以乔=3CD 2CA = 3n-2m = 2沅 + 3n.故选：B.4. 【2022 年新高考 2 卷】已知向量a = 3,4, b = 1,0, c = a + tb，若=， 则 t
3、=（）A. 6B . 5C. 5D. 6【答案】 C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解: c = 3+ t, 4 ,cos（it C = cosb, 3,即卄乎严=岂解得上=5,5|c|故选： C5. 【2022年北京】在NABC中，AC = 3,BC = 4,C = 90. P为ABC所在平面内的动点,且PC = 1,则五西的取值范围是（）A. 5,3B. 3,5C. 6,4D. 4,6【答案】 D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P cos0, sin0，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
4、【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，贝忆0,0，A 3,0，B 0,4，设P（cosO,sin。）, 0 G 0,2兀,所以PA = （3 cosQ, sin。）, PB = （cos。, 4 sin。）,所以PA - PB = （cos。）x （3 cos。） + （4 sin。） x （sin。）=cos2。 3cos0 4sin0 + sin2。=1 3cos0 4sin0=1 5sin（0 + 卩）,其中sing = 3, cos = 4,55因为一1 Y sin（0 + g） Y 1,所以一4 1 5sin（0 + g） Y 6,即PA PB G 4,6;故选：D6.【2022
5、年全国甲卷】已知向量d = (m,3),乙=(1,m + 1)若d丄方，贝愉=【答案】3#0.754解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】 由题意知：d乙= m + 3（m + 1） = 0，解得m = 34 故答案为：-3.47.【2022年全国甲卷】设向量五,F的夹角的余弦值为丄，且园=1厉| = 3,贝2a +b -b =3【答案】 11【解析】【分析】111设五与b的夹角为6,依题意可得cos0=1,再根据数量积的定义求出a-b，最后根据数量积3的运算律计算可得.【详解】解：设五与F的夹角为9,因为五与F的夹角的余弦值为，即cose =2,33又园=1,厉| = 3,
6、所以五方=|五| I引cos。= 1X3X2=1,3所以2a+ b b = 2五 b + b2 = 2五 b + |b| = 2 X 1 + 32 = 11.故答案为： 11.8【2022年浙江】设点P在单位圆的内接正八边形舛码坷的边上,则阿+芮丁+ + Pi42的取值范围是.8【答案】12 + 22,16【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，3所在直线为%轴，A/】所在直线为y轴 建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P%, y ,再根据平面向量模的坐标计算公 式即可得到两 +R42 + 菇 =8% 2 +y2 + 8,然后利用cos22.5。 |0P| 1即可解出
7、.1 2 8【详解】以圆心为原点，码码所在直线为%轴，4/所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：冬则儿(0,1)朋(込血)丿3(1,0),码(込血)，役(0,1)朋(込血)丿7(1,0)山8(血淬)，1 2 2 2 3 4 2 2 5 6 2 2 7 8 2 2 设 P(x,y),于是芮1 + 颅2 + + 而8 = 8(x2 + y2) + 8，1 2 8因为COS22.5。 |OP| 1, 所以1+cos45 %2 +y2 1,故而2 + 丽2 + + 兀竝的取值范围2 1 2 8是12 + 2V2,16 故答案为：12 + 22,16.1(2022陕西西北工业大学附属中学模拟预测(
8、理)在直角坐标系xOy中的三点M (m,3),N(4,n)，E(2,-2)，若向量OM与ON在向量OE方向上的投影相等，则m与n的关系为()A. m + n = 7B. m一n = 3C. m = nD. m = -n【答案】A【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义列式可求出结果.【详解】OM = (m,3 ), ON = (4, n), OE = (2, -2),向量OM在向量OE方向上的投影为OM OE _ 2m 6 | OE I 4 + 4m-3向量ON在向量OE方向上的投影为ON OE _ 8 - 2nI OE I4 + 44-nm 一3 4一 n由题意可得 2 =2，即m +
9、n = 7.故选：A.2.（2022山东潍坊三模）已知a, b是平面内两个不共线的向量，AB=a+九b, AC=p a+b,九，pw R,则A , B , C三点共线的充要条件是（）A.九一卩=1【答案】C解析】分析】 利用向量共线的充要条件有AB = mAC且mwR，即可得答案.详解】 由A , B , C三点共线的充要条件是AB = mAC且m wR故选： C 3. （2022江苏苏州模拟预测）在aABC中，A =扌，点D在线段AB上，点E在线段AC上,且满足 2AD = DB = 2, AE = EC = 2 , CD 交 BE 于 F,设 AB = a , AC = b ,贝U AF
10、BC =()6A.5B1729C.532D. 325答案】 B解析】分析】 根据平面共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量数量积的定义、平面 向量的加法的几何意义进行求解即可.详解】 设DF =九DC , EF =卩EB，因为-11111一九AF = AD + DF = AB + 九 DC = AB + 九(DA + AC) = AB + 九(- AB + AC) =AB + 九 AC,33333、1 、111、1 一 p 、AF = AE + EF = 一 AC + p EB = 一 AC + p (EA + AB) = AC +p (-一 AC + AB) = AC +p
11、AB,222221-九2“ 2515因此 AF. BC = (5AB + 5 AC)(-AB + AC)二-5 AB2 + 2 AC2 - 5 AC- AB 因为 A=:，AB =3，AC = 4所以 AF BC = AF-BC 二-x9 + 一x 16-x3x4x -二一5 5 52 5故选：B4. (2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模(文)若a,b = (2sin ,2cos ),66列正确的是( )A. b/(a-b)c. a在b方向上的投影是-2【答案】C解析】分析】 根据向量平行的坐标表示判断A,根据向量垂直的坐标表示判断BC,根据向量的投影的定 义判断C.由已知a详解】 ,b
12、= (13)所以 ab = C,爲)(o3)= C,2o3), a+b = Q总)+)= (3,0)因为1 x (-2朽)-朽x 1丰0，所以b, a - b不平行，A错, 因为1x 1+朽x(；3L 0，所以b, a-b不垂直，B错,因为a在b方向上的投影为a cosa,b12, c 对,因为1x3+)x0丰0，所以a + b, a-b不垂直，D错, 故选： C.a与b的夹角为（）A.兀B.3D.【答案】B解析】分析】a - b根据数量积的运算律得到ab，再根据cos0计算可得;a - b【详解】解：因为 a = 1，|b| = 2， a Ca + 3b）= 5，所以 2a2 + 3a -b
13、 = 5即2|a|2+ 3a -b = 5，所以a-b = 1，设a与b的夹角为0则cos 0=就b=2，因为0丘机，所以0=中；故选：B6.（2022北京潞河中学三模）已知菱形ABCD的边长为a,Z ABC = 60，则DBCD =（）3A. a223C. a243B. a24答案】 A解析】【分析】将DB,CD分别用BA,BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.详解】 解：DB = DA + AB = -BC - BA, CD = BA则 DB - CD = C BC - BA) BA=- BC - BA - BA2=-2a 2 - a 2故选： A.7. （2022湖北华中师大一附中模拟预测）已知向量：=（m,3） , b = （l,m），若a与b反向共线，则C 403D. 36【答案】C【解析】【分析】由向量反向共线求得m = yf3，再应用向量线性运算及模长的表示求a -巧升【详解】由题意m2 = 3，得m = P3又a与b反向共线，故m = 3a品b=（-2 点,6）故a -朽b| =43故选：C.8 （2022山东淄博三模）如图在aABC中，ZABC = 90。, F为AB中点，CE = 3 , CB = 8, ab = 12，则 EA - EB =（）AF 8A. l5B. l3C. l3D. l5【答案】
