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1、Ising 模型简述Lenz 曾向他的学生 Ising 提出一个研究铁磁性的简单模型，而 Ising 于 1925 年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为 Ising 模型。当时 Ising 只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。另外他 还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。这个推断 在后来被证明是错误的。1936 年 Peierls 论证了二维或三维的 Ising 模型存在着自 发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。1944年，当Onsager给出了 二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。这次
2、求解是 相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿 量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而 Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。在此之后很多人又相继发表Ising模型的各 种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫Ising模型的第399种解法。但至今没有被 学术界公认的三维Ising模型精确解。甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising 模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。人们通常用分子场 理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特 -卡罗 模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指
3、数，而其中Wilson于1971 年发展的重整化群理论能以较高精度计算三维Ising模型的近似结果18-20。我 国科学家张志东提出三维“Ising模型”精确解猜想。张志东的出发点就是拓扑学 中的一个常识：低维空间的扭曲和纽结可以被高一维空间的旋转打开。通过引入 第四卷曲起来的维与本征矢量上的权重这两个猜想作为处理三维Ising模型拓扑 学问题的边界条件，并应用这些猜想用自旋分析法评估了三维简单正交晶格 Ising 模型的配分函数。当系统的对称性越高，居里温度也越高。他猜测三维系 统具有最高对称性的简单立方Ising模型具有最高的居里温度黄金解，在二维系 统具有最高对称性的正方Ising模型具
4、有最高的居里温度白银解。获得的结果具 有一定的对称性和美学价值，并可部分返回到二维和一维的结果。当然，推定的 精确解正确性取决于猜想的正确性，而且其与学术界通常接受的评价标准尚不完 全吻合，有待于对相关的物理本质作进一步探讨。因此，这一工作目前还只是停 留在猜想阶段。今天的 Ising 模型根本不再是 Ising 博士论文中的模样。每年差不多有 6000 篇左右的论文研究这一模型。除了铁磁性之外，该模型还应用于很多方面，如合 金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结和蒸发、晶格气体、 玻璃物质的性质，甚至于神经网络蛋白质折叠、生物膜场论甚至社会现象等广泛 的领域。通过上述介绍，我们
5、知道三维 Ising 模型尚未得到严格解，而一维和二维情 况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出Ising模型的严格解，采用的 是 1941 年 Kramers 和 Wannier 提出的转移矩阵方法(Transfer Matrix Method)。然 后简要地说明二维Ising模型严格解的主要结果，并且同平均场理论所得的结果 进行对比。图1.2 一维Ising模型示意图。对于如图 1.2 所示的 Ising 模型，自旋只能取向上或向下两个分量，它可以 看作是Heisenberg模型的一种简化。当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为这 种相互作用在不同磁矩间是相同的，用常数J表示。和Hei
6、senberg模型相同，当 J0 时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当 J0代表铁磁相互作用，rB为BohrB一邛 Z(s + s )，2ii+1i(1-15)磁矩，h是外磁场。对于一维情况，每个自旋只有两个近邻。现在采用周期性边 界条件，即sN+1=s1 ,N为晶格中的自旋数目。现将一维晶格弯成一个环，当Ns 时，边界效应将不会影响到体系的热力学性质。根据如上的条件，可将哈密顿量 (1-14)写为：H =-J 工 ssi i+1i其相应的配分函数为：Q(T, h)=工工FI exps1 =1sN =1 Z = 1R h (Js s +-s + sk T z z+
7、i 2 z z+1B(1-16)在这里我们引入矩阵P，其矩阵元定义为：(1-17)丁卩 h ()Jss + s + s 丿k T i i+12 ii+1B因为s.与s. 1都能取1两个值，所以P是2x2的矩阵：ii+1(.=+1| pSi+1 = +1 化 乙 s. =-1l Ps.+1 =+1 匕 (eJ+忖)kBTi e - JkBT eS Bh kBT 丿=+1 IPs, 1l+1= -1|P|si+1-1丿(1-18)于是配分函数(1-16)可以重新写成：QS h)= X Ls円叮叮Psj 讥PsNXsNPs26n)-1s1 = 11s = 1N|Pn|s : =Tr(1-19)将P矩
8、阵对角化得,P=G 0)+10九丿(1-20)九和九即为矩阵P的本征值，由下面的久期方程决定,+-eG + Pgh ) kJ 尢e- J kBTe-J kBTeJ-卩 Bh) kBT 九=0，(1-21)其解为：九 =eJkBT J coshB cosh22e-J kBT sinh(1-22)要注意的一点就是入+九。现在将等式(1-20)代入(1-19)，配分函数可以表达为：Q(T, h )= In + In = 2+ +1+1+丿(1-23)所以，当NTS时，我们得到：lim 丄 In Q(T, h )q In 九N TS N+=+ lnL k”T 丿L k”T 丿+I h、I kT丿B(1
9、-24)即配分函数有P矩阵较大的本征值决定。体系的自由能和总极化强度分别为：也 一kT如=J kT coshNBNBq h、B-I kT丿B(1-25)cosh2q hBI kT丿 B丿2eJ kBT sinhI kBT 丿sinhq h BI kT、B NqBI:e4 j kBT + sinh2q h、BI kT丿 B (1-26)其它的热力学函数也可同样由自由能求出。如图1.3所示，在计算中我们选取交换相互作用常数J=1kBK，对于一切T0 都有M(T, 0)=0，也就是说Ising模型在一维的情况下不存在自发磁化，不会发生 顺磁-铁磁转变。从物理上看，任何温度下自旋的平均取向由两个对抗的
10、因素相 互竞争决定，即能量趋向最小而熵趋向最大，使得自由能达到最小值。在一维情 况下，由于近邻数低，使得自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向，结果在任何有限温度下都不能形成自发磁化。1.00.51.0-5510Lg 0.0 T=2K r=ioK-0.5图1.3 维Ising模型在不同温度下，磁化强度M随外场h的变化曲线。图1.4 一维Ising模型在有限温度下长程序被破坏的示意图。如同上文所说，当自旋排列在同方向的倾向不足以对抗使熵极大的倾向时， 自旋往往会在一个较小的尺度内保持着同方向的排列，形成所谓短程序 (Short Range Order)，而在较大的尺度内失去这种有序的状态
11、，也就是破坏了所谓长程 序(Long Range Order)。当我们使用蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)来计算一 维 Ising 模型，常常得到如图 1.4 所示的结果，在某个小范围内，如从格点 1 到 格点4(或者从格点 5 到格点 10)体系可以看作存在自发磁化，而在整体上看(从 格点1到格点N)向上的自旋和向下的自旋数目在统计上看是相等的。对于二维Ising模型，我们考虑正方晶格，每个自旋有4个最近邻。在零磁场下，系统的自由能可以表达为：但一丄 in Q(T ,0 )(1-27)nBn幺一 -1 ilnCzsinhZpJ )110y(to)d PL22兀 o其中 c
12、oshY()=cosh2cosh2e-coshsinh2sinh2e，而忙PJ，0=tan-1e-2pJo系统内能则可以写为：u 仆一 N 汕 L 一J coth2 PJ这里的K1(m)是第一类椭圆积分，K (m)=严2哎 ,(1-29)1o fl 一 m 2 sin2 Q其中 m=sinh2PJ/cosh22PJ , m，=2tanh22pj-1。而临界点由下式确定：k T = 2.269 J o(1-30)BC所得热容量为：u0.49451nl + const(l-3l)C 6,0)BNkB这样的热容量在临界点处具有对数发散的奇异性。计算自发磁化的时候，我们采用杨振宁的方法。他计算了在弱磁
13、场 h 下，系统的自由能，最后令hT0，得到磁化强度的表达式：M(T ,0)NpB-(sinh2pJ J8T TC。T TC(l-32)而对于平均场近似(Mean Field Approximation，简称MFA)所得的磁化强度可以表达为：(l-33)M(T, h)qJM + p hNplk TBB其中q是最近邻自旋的数目，对于二维正方晶格来说q=4。图1.5严格解与平均场近似所得二Rising模型磁化强度的比较。在图1.5中，与平均场近似所得的解(TC=4K)相比，严格解(TC=2.269K)有着 更低的临界温度TC，而且磁化强度在T TC-0有着更陡的温度变化率。平均场 近似忽略了系统的涨落，而涨落是倾向于破坏有序的，所以在平均场近似下所得 的TC是高于实际体系的，磁化强度的变化也反映的这一特点。在这里我们需要 注意，在平均场近似所得的结果中， Ising 模型在一维的情况下存在着自发的磁 化，这个结果是错误的。在前文我们提过，在一维系统中由于近邻数目低，系统 的涨落完全抑制了有序，而平均场近似忽略了系统的涨落才得到了有序相。Ising模型自Ising提出后，有了很多的发展，不仅是解法的多样化，其具体 形式也发生了不少变化。Ising模型的一些重要拓展成为描述相变(比仅仅是磁性) 等问题重要工具。比如说横场伊辛模型(Transverse-field Isi
