《概率统计：第二章 随机变量及其分布(第一,二,三节)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计：第二章 随机变量及其分布(第一,二,三节)（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量为了更深入地研究随机事件及其概率，我们引进概率论中一个重要的基本概念随机变量。即将随机试验的结果数量（或数值，数字）化.为此,先考察几个随机试验的例子.:投掷一枚匀称的硬币,观察它哪一面向上？试验的样本空间是;若用,则是定义在上的函数,用函数取值就能描述随机试验的结果,由于正面或反面的出现是随机的,所以或也是随机的,因而称此为随机变量; :甲乙两人下一盘棋,观察比赛结果.试验的样本空间是,定义函数 ,则是定义在上的函数,用函数的取值就能描述随机试验的结果. ：记录某电话交换台在一天内接到的呼叫次数，试验的样本空间是 ， 定义当 ； ：从一批灯泡中任取
2、一只，测试其寿命，试验的样本空间是，定义当 。 我们从上面几个例子看到,用数量来描述试验的全部结果,对我们研究随机试验是方便的.因此,有必要把随机试验结果都转化成数量来表示.这就有必要引入一个重要概念-随机变量.定义1 设随机试验的样本空间为,为概率空间.如果对于每一个样本点，都有确定的实数值与之对应，并且对于任意实数，是随机事件，（即要求是可测函数），有确定的概率，则称这样的实值变量为随机变量，简记为。 随机变量，简记为，有的书上称为随机变数。通常用大写英文字母或希腊字母等表示随机变量。例如，上述分别定义于样本空间上的函数都是随机变量。 由此可见，随机变量就是定义在样本空间上的一个可测函数。
3、由于在试验中出现是随机的，所以实数的取值相对于试验来说也是随机的，这就是称它为随机变量的原因。定义在样本空间上的任一个函数，未必是随机变量。引入随机变量以后，随机事件就可以用随机变量的取值来表示了。如在试验中，令“呼叫次数不超过20” ；“呼叫次数大于8” ；“呼叫次数在之间”，则随机事件可分别表示如下： ； 。这样一来，我们所关心的随机事件的概率问题就转化为随机变量取值的概率问题。因此，随机变量及其取值的概率是我们今后学习研究的主要对象。（可测性、可测集、可测函数的概念，在数学上有精确定义；不可测的集合是存在的，数学家已构造出不可测的集合；不可测事件存在性的社会学证明：“深（神）不可测”，“
4、高深莫测”，“神秘莫测”，“猜不出你想的都是什么”，“股市风险不可预测”等等。我们通常遇到的大都是可测的。社会上的“随机应变”用概率论的术语就是“随机变量”，深刻领会“随机应变”的涵义，就能理解“随机变量”。第二节 随机变量的分布函数研究随机变量，不但要知道它取哪些值，更重的是要掌握它在各个范围内取值的概率规律。为此，引进分布函数的概念。对一般的随机变量，如何描述它取值的概率规律就成为我们下面研究的内容。设为随机变量，则为随机事件，如果对一切实数，都知道了，那么对取值于一切有限，无限的开，闭，半开，半闭区间内的概率也能用概率的性质计算出来。 定义2 设为随机变量，对于任意实数，令 ,，(2.1
5、）称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数,记为. 就是说, 随机变量的分布函数在任意实数处的值等于在区间内取值的概率.例如 “2007年某省高考的全体考生”，表示考生的总分数，制定录取线，报志愿时我们需要知道分数分布情况。 如果是考前报志愿，预测的分数分布情况就更重要了。 分布函数是定义于实数轴上的实函数.分布函数具有以下基本性质：,(1)取值范围:,且 , ; （2）单调不减,对于, 有; (由于, ) （3）右连续,对一切实数 . (记号:右极限)反之，若定义在上的实函数，若满足以上条件,则一定是某随机变量的的分布函数。 分布函数还具有下列一些性质: （4）对任意实数, (2.2)事实上
6、, ; (5) , (2.3) , .其中左极限. 分布函数举例例1 投掷一颗匀称的骰子,记录其出现的点数.令 ,则是一个随机变量.求的分布函数.解 只可能取0、1两个值,且根据题意, ,当时, ;当时, ,;当时,于是得到随机变量的分布函数为 .例2 已知随机变量的分布函数为 ,(1) 确定常数;(2) 求和.解 (1)由分布函数的性质,得 ,所以, ;(2) , .例3 某人打靶,圆靶半径为1m.设射击一定中靶,且击中靶上任一与圆靶同心的圆盘的概率与该圆靶的面积成正比.以表示弹着点至靶心的距离,试求机变量的分布函数. 解 根据题意,可能取0,1上的任何实数. ,当时, ;当时, , 为了确
7、定常数,在中,令,得; 又由题设知是必然事件,故 ;当时, 是必然事件,故,总上所述,即得的分布函数为 . 显然,是一个连续函数.当分布函数在点处连续时, ,即, 从而有,由上面例题的实际情况,是有可能发生的().这一事实告诉我们,未必有.随机变量按其取值不同,可分为离散型随机变量和连续型随机变量及其它类随机变量.我们只讨论离散型随机变量与连续型随机变量.第三节 离散型随机变量及其概率分布离散随机变量的定义如下：定义3 若随机变量只可能取有限个或可数个实数值:,则称为离散型随机变量。()取各个可能值的概率, 称为离散型随机变量概率分布(或分布律,或分布列). 离散型随机变量例子 例如,从一批产
8、品中抽取件,抽到的次品数只能取有限个可能值;对目标进行射击,直到击中目标为止,记为所需射击次数, 只能取可列个可能值,若每次击中目标的概率为,则,是离散型随机变量的分布律.离散型随机变量的分布律的表示方法:(1)公式法,(2)列表法或矩阵法 . , 或用矩阵表示.离散型随机变量的分布律具有下列基本性质：(1) , ;(2) ,事实上,因为是随机变量的全部可能取值,是定义在上,所以 ,且是互不相容的,利用概率的可加性即有 .上式中，当取得有限个可能值时，表示有限项的和；当取得可列无穷多个可能值时，表示收敛级数的和.反之，可以证明,任意一个具有（1）和(2)两条性质的一串数一定是某一个随机变量的分
9、布律。 分布律和分布函数可互相确定的方法如下:定理 设为离散型随机变量，具有分布律则(1)的分布函数;(事实上, )(2) 对任意区间,有 ;(3) 从分布函数,可以确定分布律, . 由此可见, 离散型随机变量的分布律不但具有分布函数的相同作用,而且它比分布函数更直接且简便地描述了随机变量的取值规律.所以,今后我们用分布律来描述离散型随机变量的取值规律.例1 袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任意取出一个球，观察其颜色后放回，再从中任意取一球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布。 解 随机变量可能取的值为:1,2,设第次取球时得白球,根据题意,事件表示“前次取出的球都是黑球，第次才取出白
10、球”；如果每次取出的球总是黑球，那么无限次的取球，所以的可能值是一切正整数，即1,2,3,n, ,各次取球试验相互独立,所以的分布律 , (=1,2,3,)例2 将3个区别的球随机地逐个放入编号为1，2，3，4的四只盒中（每盒容纳球的个数不限）。设为有球的盒子的最大号码，试求：（1）随机变量的分布律与分布函数； （2）。解 （1）根据题意知，随机变量可能取的值为：1，2，3，4；且 ；，即随机变量的分布律为1234的分布函数为 （2） . 例3 将红、白、黑三只球随机地逐个放入编号为1，2，3的三个盒内（每盒容纳球的个数不限），以表示有球盒子的最小号码，求随机变量的分布律与分布函数. 解 根据题意知，随机变量可能取的值为：1，2，3; , , ,即随机变量的分布律为123的分布函数为 .例4 某射手欲对一目标进行射击,每次一发子弹.设他每次射中目标的概率为,规定:一旦目标被击中2次或射击了5次就停止射击.记为停止射击时,射手所消耗的子弹数目,求随机变量的分布律. 解 根据题意知，随机变量可能取的值为：2，3,4,5; 第次射击时射中目标, , 相互独立;, , 或 , 于是得到随机变量的分布律.
