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1、二、数列与数学归纳法1.如图,曲线上的点与x轴的正半轴上的点及原点构成一系列正三角形O1,QP2Q2,Qn-PQn设正三角形的边长为,N(记为),.（1)求的值; (2)求数列的通项公式。.w.w.s5u.c.o.m 2. 设都是各项为正数的数列,对任意的正整数,均有成等差数列,成等比数列(1）试问与否成等差数列？为什么？（2)如果，求数列的前项和.3. 已知等差数列中,=，6（）求数列的通项公式;（)设，求证：.4.已知数列中,（n，),数列，满足（） ()求证数列是等差数列; （2）求数列中的最大项与最小项,并阐明理由;（3）记,求. 已知数列an中，a10, 且an+=， ()试求a1的
2、值,使得数列an是一种常数数列； ()试求a1的取值范畴,使得n1a对任何自然数都成立; ()若a1 =2，设n = | an+-n|（ = 1，3，),并以S表达数列n的前项的和,求证：Sn0Sn是它的前n项和,又与的等比中项是,与的等差中项是6，求an。26.和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为20和0，而第二项与第四项的和分别是90和4,令集合,，,，,.求证：.7. 已知曲线:，: (）。从上的点作轴的垂线,交于点，再从点作轴的垂线，交于点,设。 （I）求的坐标； (II)求数列的通项公式；(I)记数列的前项和为，求证：答案:1. 解：由条件可得,代入得 ；代入曲线并整顿得
3、,于是当时,即又当；,故 因此数列是首项为、公差为的等差数列, 。2 由题意，得, (1) (2) （1)由于，因此由式(2）得,从而当时，代入式（1）得，即，故是等差数列（2）由及式(），式（2）,易得 因此的公差，从而,得 (3）又也适合式(3),得,因此,从而3. 解:(）（)， = 而是递增数列 ,. 4.（)，而， 是首项为，公差为1的等差数列. （2)依题意有，而, . 对于函数,在x时,0,在(3.5,）上为减函数 故当n4时，取最大值3 而函数在x3.时,y并解出:n=，即1n = (）研究an1-n= (n2） 注意到0因此，可以得出：an+an，an-an-1,a12,，-
4、1有相似的符号7要使n+1an对任意自然数都成立,只须2a10即可由0，解得:0a时，an+1an对任何自然数都成立.因此当a1=2时，an+1-an0 Sn= b1+b2+bn=|aa1| |a3-a2| + |-n=aa2a2a3+an-a1a1an+1=2-a+1又:an=, 故Sn2=6. (1)令，由x0,t1,原不等式等价于令f(）t-ln,当时，有,函数f(t)在递增(t)f（1）即t1lt另令,则有g(t)在上递增，g(t)g(1)=综上得(2）由(1)令x=1，2,（n-1）并相加得即得7 (1)易求得(2)作差比较易得：(3）当时,不等式组显然成立. 当由()知再证而同理:
5、,，以上各式相加得:即 .8 （），又 或 若，则，与矛盾； 若，则，显然, (2)， 当时，,欧 时,， 数列是以9为首项,为公比的等比数列。 （3),设是数列中的最大项，则 由 可得数列有最大项,最大项是。9 （1)由是等比数列。(2）0. （）经计算，,. 当为奇数时,，即数列的奇数项成等差数列，； 当为偶数,，即数列的偶数项成等比数列,. 因此,数列的通项公式为. （)， （1) (2)（）、（）两式相减,得 1. 设的公差为d，首项为,则 （1) ()解得,则。（)当时，在前n-1组中共有项数为：。故第n组中的第一项是数列中的第项,且第n组中共有项。因此当n1时,也适合上式,故。(）。即数列前8组元素之和,且这8组总共有项数。则12.（）由 得 即可得由于,因此 解得，因而 (）由于是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减,得 即 .(）,当时，, 又对任意的,总有两个不同的根， 由(1), 对任意的,总有两个不同的根, 对任意的,总有两个不同的根, 由此可得, 当， 当，14. （1）. (2),当时，. (）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是:试写出有关的关系式,并求的取值范畴 15.()由已知得 当时,
